Метод квадратных корней
Объем вычислений, требующихся для решения линейных алгебраических задач с симметричными матрицами, можно сократить почти вдвое, если учитывать симметрию при треугольном разложении.
Пусть A = – симметричная матрица, т.е.. Построим ее разложение в виде A = UU, где
,.
Перемножим матрицы, получим n (n +1)/2 уравнений относительно такого же количества переменных (элементов матрицы U):
… | |||
… | |||
… | …………………… | ||
Из первой строки уравнений находим
, (j =2, …, n).
Из второй строки:
, (j =3, …, n).
И наконец:
.
Общий вид формул для вычисления ненулевых элементов матриц U и U:
, i =1, …, n;
(6.1)
, j =2, …, n.
Получив UU-разложение симметричной матрицы A, решение уравнения
UUx=b
сводится к решению системы
. (6.2)
Таким образом, решение исходной системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами коэффициентов.
1. Uy = b:
Следовательно, y при i= 1, 2, …, n могут быть найдены по формулам:
. (6.3)
2. Ux = y:
|
|
,
откуда и вычисляются значения неизвестных x в обратном порядке i=n, n –1, …, 1 по формулам:
. (6.4)
Решение СЛАУ посредством UU -разложения матрицы A по формулам (6.3)–(6.5) называется методом квадратных корней или схемой Холецкого.