Методы доказательств

Определение 9. Та мысль, для обоснования истинности или ложности которой строится доказательство, называется тезисом. Тезис доказывается, исходя из некоторого основания с помощью доводов, связанных между собой и тезисом некоторой логической связью.

Поэтому любое доказательство можно представить в виде логической цепочки . Ошибки в доказательствах бывают в основном 5 типов:

1. ошибочен тезис;

2. ошибочно основание;

3. ошибочны доводы;

4. логическое самопересечение цепочки рассуждений:

;

5. некорректное использование законов логики (правил вывода).

Чтобы избежать ошибки в тезисе, надо чётко уяснить себе, что же именно доказывается, и помнить о законе тождества. Ошибки в основании и доводах – это или ложное, или произвольное основание (довод). Для избежания ошибок типа логического самопересечения (от лат. circulus vitiosus – порочный круг) математика имеет строго иерархическую структуру, о которой поговорим позже. Нас сейчас интересует корректные методы рассуждений. Перечислим некоторые из них.

1. Modus ponens (подтверждающая форма): .

Читается: истинно, что из следует ; имеет место . Следовательно, имеет место .

Пример. «Если у человека температура, то он болен. У человека температура. Следовательно, он болен». (Это не означает, что если температуры нет, то человек здоров.)

Определение 10. В этом случае говорят, что есть достаточное условие или достаточное, но не необходимое условие (как в нашем примере). называется признаком .

2. Modus tollens (отрицающая форма) - закон контрапозиции: .

Читается: из следует ; имеет место . Следовательно, имеет место .

Пример. «Если у человека высокая температура, он болен. Человек здоров. Следовательно, у него нет температуры». Если не выполняется, то не выполняется и (необходимое условие). Но если выполняется , это не значит, что выполняется . (Если человек болен, это не значит, что у него есть температура). В этом случае говорят, что есть необходимое, но не достаточное условие .

3. Закон эквивалентности: .

В этом случае говорят, что есть необходимое и достаточное условие («если и только если») или есть критерий .

4. Логическая транзитивность: .

Наиболее часто встречаются ошибки при использовании этого правила. Главная из них – нечёткое определение объекта транзитивности.

Пример. Учитель считает, что учится лучше , если в большинстве контрольных работ оценка у выше, чем у . При этом определении термина «лучше» легко привести пример, когда будет лучше , будет лучше , а лучше, чем .

	К₁	К₂	К₃
А
В
С

5. Reductio ad absurdum (закон образования лжи) - доказательство от противного:

Одна из форм:

В этом случае говорят, что если из следует и , и не , то - ложь.

Ещё одна форма: требуется доказать, что из следует .

Пусть имеет место , но не имеет место . Применяя закон логической транзитивности, строим цепочку , т.е. из . Следовательно, по закону контрапозиции . Если в доказательстве используется одна из форм образования лжи, то перед началом ставится значок (ad absurdum). Пример применения этого закона будет ниже.

6. Метод математической индукции. Применяется для высказываний, зависящих от натурального параметра . Докажем следующую теорему:

Теорема 4. Утверждение справедливо , если:

1. справедливо при ;

2. из справедливости для произвольного следует справедливость его для .

. Пусть утверждения 1 и 2 выполняются, но справедливо не для всех . Так как, справедливо при (утверждение 1), то существует такое , где , при котором не справедливо, причём ещё справедливо. Положив , мы получим противоречие с утверждением 2. ■

Для применения метода математической индукции следует сделать следующие операции:

1. Ставится «математический эксперимент», и получают .

2. Делается предположение о виде формулы .

3. Проверяется утверждение 1 (фактически на первом этапе).

4. Доказывается утверждение 2.

Пример. Помимо утверждений, связанных с натуральными числами, методом математической индукции хорошо доказывать неравенства, признаками делимости и т.д.

Докажем, например, методом математической индукции, что , .

1. При имеем .

2. , тогда

, а т.к. и , то . ■

7. В предыдущем примере применён ещё один приём, который называют метод «расчленения»: если , , то . Этот частный случай логической транзитивности, где промежуточное значение чётко определено.