Пусть на интервале [a,b] заданы n+1 опорных (узловых) точек a £ xo< x1 < x2 <...< xn £ b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел yi(i=0, 1,2,...,n) (например, как значения функции в узловых точках). Под задачей интерполяции понимают нахождение многочлена In(x) степени не больше n такой, что In(xi)=yi для 0 £ i £ n.
Интерполяцию обычно применяют тогда, когда относительно f известны только дискретные значения функции y=f(x), и, чтобы вычислить другие ее значения между узловыми точками (интерполяция) или за отрезком узловых точек (экстраполяция), ее приближают многочленом In(x), причем f(xi)=In(xi) (i=0,1,2,...,n).
Всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различной форме.
Форма Лагранжа: , где Lj(x) - полиномы n-ой степени, называемые лагранжевыми коэффициентами и имеющие вид:
.
Степень каждого полинома Lj равна n, сам он равен 1 в точке х = xj и обращается в нуль в остальных узлах интерполяции. Формула позволяет вычислять значения полинома Лагранжа и без нахождения его коэффициентов.
|
|
У интерполяционного многочлена Лагранжа наблюдается явная зависимость от каждого значения функции Это в многих случаях бывает полезно, но при изменении интерполяционный многочлен Лагранжа надо строить заново. В этом его недостаток.
Для удобства вычислений целесообразно составить вспомогательную таблицу где хо, x1, …, xn — узлы интерполяции, а х — значение аргумент, для которого определяется приближенное значение по интерполяционной формуле Лагранжа.
,
Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа можно переписать в виде .
Таблица 1
… | |||||
… | |||||
… | |||||
… | … | … | … | … | … |
… |
Форма Ньютона: ,
где
Интерполяционный многочлен Ньютона содержит не значение функции , а ее разделенные разности. При изменении степени у интерполяционного многочлена Ньютона надо добавить или отвергнуть соответствующее количество стандартных слагаемых. Это удобно на практике.
Пусть теперь -произвольные точки (узлы) оси , причем при .
Значение функции в узлах называются разделенными разностями нулевого порядка.
Число называется разделенной разностью первого порядка функции (соответственно точкам ).
Очевидно, что, разделенная разность первого порядка является симметричной функцией аргументов и .
Разделенная разность -го порядка определяется через разделенные разности -го порядка по рекуррентной формуле
При вычислениях разделенные разности записывают в виде таблицы.
Таблица 2.
Разделенная разность -го порядка может быть представлена через узловые значения функции формулой то есть симметричной функцией своих аргументов.
|
|
Значение разделенной разности не зависит от порядка нумерации узлов, по которыми она строится. Всего имеем вариантов нумерации узлов целыми числами от 0 к .
Часто применяют равноотстоящие узловые точки (узловые точки, расположенные на равном расстоянии друг от друга):
x0=a; x1=a+h; x2=a+2×h; x3=a+3×h;...; xn =a+n×h=b, т.е. h= .
В этом случае разделенные разности выражаются через простые разности:
[xkxk+1xi-2...xk+m]= Dmfk,
где D0fk=fk, D1fk=fk+1-fk, Dmfk=D(Dm-1fk) (m=2,3,...,k).
Разностная схема упрощается. Формула Ньютона принимает вид
ln(x)=f0+Df0(x-x0)+ D2f0(x-x0)(x-x1)+ Dnf0(x-x0)(x-x1)...(x-xn-1).
Задание к работе
1. В соответствии с вариантом (см. Приложение) или по указанию преподавателя выбрать функцию, интервал (хнач ¸ хкон) и шаг изменения аргумента h.
2. Заполнить массив {Y} значениями функции при каждом значении аргумента x, при этом узлами интерполяции будут значения аргумента от начального до конечного.
3. В соответствии с методами Лагранжа и Ньютона, определить вид интерполяционного многочлена n-ной степени (значение n запросить, по умолчанию n=4). Результаты обоих методов должны совпасть.
4. Используя результаты, полученные в п.3, запросить несколько значений аргумента и выдать соответствующие каждому значению аргумента значение заданной функции и значение интерполяционного многочлена. Вычислить и вывести красным цветом значение абсолютной погрешности для каждого значения х. Если функция в заданной точке не определена, необходимо вывести соответствующее сообщение (красным цветом).
5. Программу составить в соответствии с методологией структурного программирования, выделить подпрограммы и оформить их в виде модуля.
Содержание отчета: титульный лист, тема и цель работы, № варианта задания и собственно задание, описание типов функциональных рядов по методам вычислений, определение типа заданного ряда, математическая постановка задачи и определение области допустимых значений (ОДЗ), блок-схема алгоритма, текст программы и результаты её работы. Работу программы студент обязан показать на ПЭВМ.
Контрольные вопросы
1. Что такое интерполяция?
2. Сущность методов интерполяции по формулам Лагранжа и Ньютона.
3. Для чего используется сплайн-интерполяция?
4. Назначение модулей Borland Pascal. Структура модуля.
5. Основные подпрограммы модуля CRT для работы с цветом.