Т а б л и ц а 2

Вычисление элементов площади грузовой эпюры и ординат единичных эпюр

Грузовое состояние	I-е единичное состояние	II-е единичное состояние	III-е едини состояние

7) Из условия прочности и жесткости подберем размер поперечного сечения

Условие прочности при изгибе:

Условие жесткости при изгибе:

8) Из сравнения результатов расчетов на прочность и жесткость, выбираем больший из полученных размеров, как удовлетворяющий обоим условиям:

b =0,057 м.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Рисунок 3. К расчету изгиба статически определимого бруса

1.3 Расчет плоской статически определимой рамы.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

1.3.1 Условие задачи.

Для плоской рамы (схема 36) постоянной жесткости, выполненной из стали 35ХГСА и имеющей кольцевое сечение (D/d = 2), из условий прочности и жесткости сечения D () определить размеры кольцевого сечения.

1.3.2 Краткие теоретические сведения

При воздействии на плоскую раму силовой нагрузкой поперечные сечения стержней рамы получают продольные (вдоль рассматриваемого стержня), поперечные (перпендикулярно оси рассматриваемого стержня) и угловые (угол поворота рассматриваемого сечения) перемещения, которые определяются методом Мора, интеграл которого должен содержать три слагаемых:

· перемещение, обусловленное действием продольных сил в стержнях рамы;

· перемещение, обусловленное действием поперечных сил в стержнях рамы;

· перемещение, обусловленное действием изгибающих моментов в стержнях рамы;

Однако эксплуатационная практика и расчеты показывают, что доминирующими перемещениями, являются перемещения, обусловленные изгибающим моментом, а перемещения вызванные действием продольных и поперечных сил можно пренебречь. Таким образом, интеграл Мора для определения перемещений сечений рамы принимает вид

где ‒ изгибающие моменты в исходном (грузовом) и единичном состояниях;

‒ жесткость стержней рамы на изгиб;

S ‒ контур рамы.

1.3.3 Решение задачи (рис. 4).

1) Определяем опорные реакции для грузового состояния из условия равновесия

Проверка:

2) Строим эпюру изгибающих моментов в грузовом состоянии (рис. 4);

3) Снимаем с рамы заданную нагрузку и в сечении D, перемещение которого ищется, прикладываем единичную силу (единичное состояние) в горизонтальном направ

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

лении, т.к. в вертикальном направлении перемещение сечения D равно нулю согласно опоре.

4) Определяем опорные реакции в единичном состоянии

Проверка:

5) Строим эпюры изгибающих моментов в единичном состоянии (рис. 4).

6) Определяем горизонтальное перемещение сечения D методом Мора, вычисляя интеграл Мора по правилу Верещагина. Для сокращения записи будем считать, что ω ‒ площадь грузовой эпюры M_x.

7) Определяем размер кольцевого сечения из условия жесткости

где ‒допускаемое перемещение сечения D, обусловленное эксплуатационными условиями рамы.

Отсюда находим сначала необходимый момент инерции поперечного сечения

Теперь, зная, что

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

определяем необходимый размер внешнего диаметра из условия жесткости

8) Определяем размер кольцевого сечения из условия прочности

где ‒ изгибающий момент в опасном сечении рамы;

‒ допускаемые напряжения;

‒ предел текучести стали 35ХГСА;

‒ коэффициент запаса по пределу текучести.

Отсюда находим сначала необходимый момент сопротивления поперечного сечения

Теперь, зная, что для кольцевого сечения

определяем необходимый размер внешнего диаметра из условия прочности

=23 мм.

Из двух размеров (59 мм и 23 мм) выбираем наибольший и принимаем D= 59 мм, как удовлетворяющий обоим условиям ‒ условию прочности и условию жесткости.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Рисунок 4. К расчету статически определимой рамы

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

1.5. Расчет статически определимой рамы при сложном нагружении.

1.5.1. Условие задачи.

Для плоско-пространственной рамы (схема 15), выполненной из стальных брусьев (Ст.3) круглого поперечного сечения диаметром d, из условия прочности определить d и при найденном значении вычислить вертикальное перемещение сечения A. (при расчете принять G=0,4E).

1.5.2. Краткие теоретические сведения.

При сложном нагружении пространственной рамы в поперечных сечениях стержней в общем случае возникают все шесть внутренних усилий, однако основными усилиями, влияющими на деформированный вид рамы, являются изгибающие М_х, М_у и крутящий М_z моменты. Поэтому интеграл Мора будет содержать три слагаемых

1.5.3. Решение задачи (рис.5).

1) Строим эпюры и аналитические выражения изгибающего и крутящего моментов в грузовом и единичном состояниях. Так как рама плоско-пространственная, лежащая в горизонтальной плоскости, и нагрузка действует только в вертикальной плоскости, то в поперечных сечениях стержней рамы возникнут только M_x и M_z, а М_у на всех участках равен нулю.

Грузовое состояние

Участок 1
Участок 2

Единичное состояние

Участок 1
Участок 2

Опасным будет сечение в заделке, где .

2) Определяем диаметр стержней рамы из условия прочности.

Так как в опасном сечении стержень испытывает одновременно изгиб и кручение, а материал рамы относится к пластичным, по используем гипотезу наибольших касательных напряжений, согласно которой

где ‒ допускаемые напряжения;

‒ предел текучести стали Ст.3;

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

В результате условие прочности принимает вид

Отсюда находим необходимый по условию прочности диаметр стержней рамы

Принимаем d= 56,5 мм.

3) Определяем в общем виде вертикальное перемещение сечения А, вычисляя интеграл Мора по правилу Верещагина.

Знак минус говорит о том, что сечение А переместилось в сторону, противоположную единичной силе, т.е. в верх. Здесь учтено, что

Вычисляем перемещение сечения А при найденном диаметре стержней рамы

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Рисунок 5. К расчету плоско-пространственной рамы

2. Расчет на прочность и жесткость статически неопределимых элементов конструкций

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Задание № 12

Выполнил: студент гр. 12-КС-3

Иванов И.И.

Принял: к.т.н., доцент

Сидоров А.А.

Номер схемы				Средний балл
Оценка
Подпись

2.1. Расчет статически неопределимой рамы на прочность.

2.1.1.Условие задачи

Для стальной (Ст.3) рамы (схема 47), имеющей одинаковое квадратное поперечное сечение на всех участках из условия прочности определить размер квадратного поперечного сечения.

2.1.2.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Краткие теоретические сведения.

Статически неопределимой системой (конструкцией) называется геометрически неизменяемая система, в которой для определения внутренних усилий в элементах и реакций опор недостаточно одних лишь уравнений статики.

Для раскрытия статической неопределимости применяется метод сил, согласно которому выбирается основная система, формируется эквивалентная система и из условия совместности деформаций составляются канонические уравнения метода сил

где n –степень статической неопределимости;

- перемещение в точке приложения и в направлении i -го неизвестного от действия внешней нагрузки в основной системе;

- перемещение в точке приложения и в направлении i -го неизвестного от действия единичного усилия, приложенного в точке приложения и в направлении j -го неизвестного в основной системе;

S - контур рамы;

Е – модуль упругости материала;

- момент инерции поперечного сечения;

- изгибающий момент в основной системе от действия внешней нагрузки (грузовое состояние);

- изгибающий момент в основной системе от действия единичного усилия, приложенного в точке приложения и в направлении i -го неизвестного (i - единичное состояние);

- неизвестные усилия в эквивалентной системе.

2.1.3. Решение задачи (рис. 6÷10).

1) Определяем степень статической неопределимости.

Данную раму удобнее рассматривать как внешне статически неопределимую. Так как к раме приложено пять опорных усилий, а в плоскости рамы можно составить только три уравнения равновесия, то степень статической неопределимости n=5-3=2.

2) Из нескольких, возможных основных систем выбираем ту, с которой удобнее работать с точки зрения объема вычислений (рис. 6).

Рисунок 6. Исходная и основная системы рамы

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

3) Изображаем эквивалентную систему, загружая основную систему внешней нагрузкой и неизвестными опорными усилиями (рис. 7).

Рисунок 7. Эквивалентная система и грузовое состояние рамы

4) Строим эпюры изгибающих моментов в грузовом и единичных состояниях (рис. 8 и 9)

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Рисунок 8. Эпюры изгибающих моментов в грузовом и первом

единичном состояниях

5) Подсчитываем коэффициенты канонических уравнений методом Мора, вычисляя интегралы по способу Верещагина.

;

; ;

;

6) Определяем опорные реакции и . Для этого подставляем найденные коэффициента в систему канонических уравнений. После сокращения на общий множитель получим

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Решение этих уравнений дает .

В обоих случаях получили знак плюс, значит направление реакций совпадает с ранее выбранным.

7) Изображаем эквивалентную систему при найденных опорных реакциях и для нее строим эпюру изгибающих моментов как для обычной статически определимой рамы, загруженной заданной внешней нагрузкой и известными теперь уже силами и (рис. 9 и 10).

Рисунок 9. Второе единичное состояние и эквивалентная система рамы при найденных опорных реакциях

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Рисунок 10. Эпюра изгибающих моментов в эквивалентной (исходной) системе и единичное состояние для деформационной проверки

8) Статическая проверка.

Вырежем узел D (рис. 10) и рассмотрим его равновесие по моменту

Условие равновесия узла удовлетворяется.

9) Деформационная проверка.

Проверку правильности построения эпюры изгибающего момента делаем из условия, что угол поворота сечения В в заделке равен нулю. Для этого выбираем другую основную систему и для нее строим эпюру изгибающих моментов .

Оценим погрешность в процентах:

что вполне удовлетворительно.

10) Определение поперечного сечения участков рамы.

Размеры квадратного поперечного сечения рамы находим из условия прочности

где - изгибающий момент в опасном сечении рамы;

- момент сопротивления поперечного сечения стержней рамы при изгибе;

b – размер квадратного поперечного сечения;

= 160 МПа - допускаемые напряжения;

240 МПа - предел текучести стали Ст.3 (ГОСТ 380-2005, Сталь углеродистая обыкновенного качества);

=1,5 –коэффициент запаса по пределу текучести при статических нагрузках.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

Из условия прочности определяем размер квадратного поперечного сечения стержней рамы

0,106 м = 106 мм.

Принимаем b= 106 мм.

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

3. Устойчивость сжатых стержней

Задание 12

Выполнил: студент гр. 12-КС-3

Иванов И.И.

Принял: к.т.н., доцент

Сидоров А.А.

Номер схемы			Средний балл
Оценка
Подпись

3.1 Краткие теоретические свед

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

ения

Устойчивость – это способность сжатого стержня сохранять первоначально заданную (прямолинейную) форму равновесия. Потеря устойчивости означает резкое изменение вида деформации стержня (сжатие стержня сменяется его изгибом) при достижении сжимающей силой некоторого критического значения.

Критической называется минимальная сжимающая сила F _кр, при которой стержень теряет устойчивость.

Изгиб сжатого стержня, происходящий при превышении сжимающей силой критического значения, называется продольным изгибом.

В упругой стадии деформирования материала сила F _кр вычисляется по формуле Эйлера

где Е – модуль продольной упругости материала стержня; J _min – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня; μ – коэффициент приведения длины, зависящий от способов закрепления концов стержня; l – длина стержня.

Напряжение в стержне, вызванное F _кр, называется критическим и рассчитывается по формуле

где А − площадь поперечного сечения; − гибкость стержня; − минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня.

Пределы применимости формулы Эйлера ограничиваются условием:

где − предел пропорциональности материала стержня.

Расчёт напряжения σ_кр в неупругой стадии деформирования материала () выполняется по эмпирической формуле Ясинского. В применении к стальным стержням она имеет вид

где а, b – эмпирические коэффициенты.

Нар

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

яду с формулами Эйлера и Ясинского, каждая из которых применима для ограниченного диапазона напряжений, в практических расчётах широко используется следующая формула:

где – допускаемая сжимающая сила; – допускаемое напряжение на сжатие; φ – коэффициент снижения допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба), зависящий от материала и гибкости стержня.

Коэффициент запаса устойчивости п _у определяется по формуле

где [ F ] – допускаемая сила сжатия стержня.

3.2 Условие задачи

Для сжатого стержня (рис. 3.1), выполненного из стали 3, определить величины критической, допускаемой сил и коэффициента запаса устойчивости.

Рисунок 3.1 К расчету стержня на

устойчивость (схема 51)

По условию задачи поперечное сечение стержня (рис. 3.2) образовано двумя равнополочными уголками (ГОСТ 8509-86) с размерами 160×160×16 мм и характеристиками: J_x ₀ = 1866 см⁴, J_y ₀ = 485 см⁴, А _уг=49,1 см², z ₀ = 4,55 см .1) Вычисляем площадь А поперечного сечения стержня. А= 2 А _уг = 2 · 49,1 = 98,2 см. 2) Определяем минимальный момент инерции сечения.

Х ₀, V

Y ₀

z ₀

3.3 Решение задачи

Рисунок 3.2 Поперечное сечение

Заданное сечение имеет две оси симметрии U и V. Значит, оси U и V одновременно являются и главными центральными осями сечения, относительно которых моменты инерции J_u и J_v принимают экстремальные значения, равные

см ⁴,

5,04∙10³ см ⁴.

Из расчётов следует, что . Тогда см ⁴.

3) Вычисляем минимальный радиус инерции сечения.

4) Находим гибкость стержня.

Длина стержня равна (а = 1 м) м.

Заданному способу закрепления концов стержня соответствует . С учётом полученного, гибкость равна

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

КР-СМ-НГТУ-12КС3-012-15

5) Определяем величину критической силы.

Расчётное значение гибкости больше предельного для Ст. 3. Поэтому вычисление проводим по формуле Эйлера, принимая Е =2,1∙10⁵ МПа:

6)Находим величину допускаемой силы.

Воспользуемся формулой

Принимая для Ст. 3 предел текучести σ_т =240 МПа и коэффициент запаса прочности п _у = 1,5, вычисляем допускаемое напряжение на сжатие

Значение коэффициента φ определяем из таблицы φ= φ(λ) для Ст. 3. Выписываем табличные значения и коэффициента φ на границах диапазона изменения гибкости, в пределах которого находится расчётная гибкость :