Экономическая интерпретация двойственности

Экономический смысл решения двойственной задачи целесообразно рассмотреть на конкретном примере (6.15) и (6.16).

Значения переменных двойственной задачи (6.16) можно рассматривать как ценность (оценку) единичного ресурса i –го вида в прямой задаче (6.15).

Полученные значения переменных в двойственной задаче показывают, на сколько изменится целевая функция прямой задачи при изменении на единицу соответственно первого и третьего видов сырья. При этом значения соответствующих базисных переменных будут изменяться: для y₁ x₂ на 5/8, y₂ на 1/8, х₃ на 1/4; для y₃ х₂ на 1/8, y₂ на 5/8, х₃ на 1/4. Значение =0 означает, что изменение данного вида ресурса не приводит к изменению целевой функции и этот ресурс использован не полностью для получения оптимального решения, т.е. имеется скрытый запас ресурса. Величина этого запаса определяется значением дополнительной переменной y₂ =80 в оптимальном решении прямой задачи.

Таким образом, положительную, отличную от нуля двойственную оценку имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются при оптимальном плане производства. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность используемых ресурсов.

Левые части ограничений двойственной задачи определяют оценку сырья или ресурса, затраченного на производство единицы каждого вида продукции. Эта оценка должна быть не меньше цены единицы продукции соответствующего вида.

Если подставить оптимальные значения двойственной задачи в ограничения двойственной задачи, то получится: 4×23/4+0+5/4>10,

2×23/4+0+25/4=14,

23/4+0+5×5/4=12.

Первое ограничение выполняется как строгое неравенство. Это означает, что цена продукта А оказалась ниже, чем двойственная оценка сырья, затраченного на ее производство, т.е. эта продукция нерентабельна для данного производства, и, как следует из решения прямой задачи, выпуск продукции А не предусматривается оптимальным планом производства (х₁ =0).

Величина превышения затрат над стоимостью определяется значением в оптимальном решении двойственной задачи. Второе и третье ограничения выполняются как строгие равенства. Это означает, что двойственная оценка сырья, используемого на производство единиц продукции В и С, соответствует в точности их ценам. Отсюда следует, что выпуск этих видов продукции экономически целесообразен и их производство предусматривается оптимальным планом прямой задачи (х₂ =82, х₃ =16).

Целевая функция двойственной задачи показывает общую оценку (стоимость) сырья, используемого на производство продукции, и она должна быть минимальной.