Найти интеграл
Решение. Преобразуем знаменатель дроби, стоящей под знаком интеграла следующим образом:
x 2 – 6 x +13 = x 2 – 6 x + 9 + 4 = (x - 3)2 + 22. Тогда после подстановки t = x - 3 получаем
причем, при вычислении интеграла воспользуемся заменой переменной z = t 2+4, тогда dz = 2 tdt, откуда
.
Итак, учитывая, что t = x – 3, имеем
.
Задание № 3
1. Найти интеграл .
Решение. Применим формулу интегрирования по частям
Положим
u = 3 x +7, dv = cos5 xdx,
тогда
du = 3 dx, .
Следовательно,
.
2. Найти интеграл .
Решение.
Положим
u = arctg 4 x, dv = dx,
тогда
v = x.
Отсюда
.
Применяя в последнем интеграле подстановку t = 1+16 x 2,
получаем, , следовательно,
.
Отсюда .
Задание № 4
Вычислить площадь, ограниченную параболами
y = 2 x 2 – x – 2,
y = - x 2 + x – 1.
Решение.
Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:
2 x 2 – x – 2 = - x 2 + x – 1. Отсюда 3 x 2 – 2 x – 1 = 0, D = 4 + 4∙3 = 16,
Рисунок 3
,
Вычисление площади осуществляем по формуле:
,
где f 1(x), f 2(x) – кривые, ограничивающие фигуру (f 2(x) ³ f 1(x)).
|
|
В нашем случае
Задания к контрольной работе № 2