Решение. В данном случае число всех исходов равно 62. Благоприятные исходы: (4,6), (5,5), (6,4). Отсюда вероятность равна p=3/36=1/12.
Определение 3. Размещением называется произвольная инъекция
f: {x1, x2, ×××, xm} ® { y1,y2, ×××,yn }.
(В каждый ящик размещают не более одного предмета.)
Теорема 1. Число размещений равно .
Доказательство. Первый предмет можно разместить n способами, второй – n-1, ×××, m- й – n-m+1. Получаем .
Упражение 2. В группе m студентов. Найти вероятность того, что найдется два студента, родившиеся в один день.
Решение. Число всех вариантов 365m. Число неблагоприятных вариантов равно , где n=365. Получаем . Ниже приводится таблица значений вероятности при различных m:
Например, если число студентов равно 23, то вероятность равна примерно 0.5
Определение 3. Пусть заданы m ящиков. Упорядоченным размещении-ем предметов a1, a2, ×××, an называется указание последовательности предметов для каждого ящика, при котором каждый предмет участвует ровно один раз.
Пример 1. На рисунке 2.1 показаны упорядоченные размещения предметов a, b по трем ящикам.
|
|
Рис. 2.1. Упорядоченные размещения
Сначала размещается буква a в первый ящик и одним из четырех способов размещается b. Потом буква a размещается во второй ящик, в этом случае снова b размещается одним из четырех способов. Затем буква a размещается в третий ящик, буква b размещается одним из четырех способов. Всего получаем 12 упорядоченных размещений.
Теорема 2. Число [m]n упорядоченных размещений n предметов в m ящиков равно m(m+1) ∙ ∙ ∙ (m+n-1).
Доказательство. После размещения первого предмета в таблицу одним из m способов
a1 | ∙ ∙ ∙ |
второй предмет может быть размещен одним из m+1 способов. Предположим, что уже размещено i-1 предметов, и пусть при k=1, 2, …, m в k -м ящике находится rk объектов. Тогда i -й объект может быть добавлен одним из (r1 +1) + (r2 +1) + ∙ ∙ ∙ + (rm +1) = i-1+m способов. Отсюда число всех упорядоченных размещений будет равно m(m+1) ∙ ∙ ∙ (n-1+ m).