Пусть (X, £) – конечное частично упорядоченное множество. Рассмотрим последовательность функций Pn: X´X® Z, определенных при n =0 и n =1 по формулам:
А при n≥2:
Pn(x,y) = |{(x1 , x2 , ×× ×, xn-1): x< x1 < x2 < ××× < xn-1 <y}|.
Определение 1. Функцией Мебиуса m: X´X®Z называется функция, определенная по формуле
.
Определение 2. Пусть X={ x1 , x2 , ×××, xn} – конечное частично упорядоченное множество, матрицей смежности называется матрица A, имеющая коэффициенты
Лемма 1. Пусть X={ x1 , x2 , ×××, xn} – конечное частично упорядоченное множество, A – матрица смежности. Тогда матрица M, коэффициенты которой равны значениям m(xi, xj), будет обратной к матрице A.
Доказательство. Пусть Id – единичная матрица. Положим Q=A-Id. Тогда A=Id+Q. Откуда
A-1 = Id - Q + Q2 - Q3 + ××× = .
Легко видеть, что коэффициенты матрицы Qk равны Pk(xi,xj), откуда , в силу . Что и требовалось доказать.
Пример 1. X=[n].
Отсюда получаем m(i,i)=1, m(i,i+1)=-1. Остальные значения функции Мебиуса равны 0.