Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений с n неизвестными.
a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 +... + a1n x n = b 1
a21 x 1 + a 22 x 2 + a23 x 3 +... + a2n x n = b 2 (4.1)
........................
an1 x 1 + an2 x 2 + an3 x 3 +... + ann x n = b n
где x i – неизвестные, подлежащие определению, aij – коэффициенты при неизвестных; b i - числа, называемые свободными членами (правыми частями) системы уравнений.
Форма записи системы (4.1) - скалярная
Совокупность чисел x 1 = λ1, x 2 = λ2,..., x n = λ n, удовлетворяющих (4.1) называется решением СЛАУ.
Матричная форма записи системы (4.1) имеет вид
А = ; x = ; b = ; (4.2)
СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; в противном случае она называется несовместной.
СЛАУ называется определенной, если это решение - единственное.
Если СЛАУ не имеет ни одного решения, то такая система является неопределенной.
Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать:
- совместна ли данная СЛАУ;
- если совместна, то установить число решений;
- указать способ отыскания этих решений.
|
|
Некоторые обозначения:
АТ – матрица, транспонированная к матрице А, т.е. a ij = a ji.
А-1 – матрица, обратная к матрице А, т.е. А-1 · А = I,
где I - единичная матрица.
При решении СЛАУ возникают проблемы, связанные с вопросами:
1) разрешима ли данная СЛАУ;
2) каким методом ее решать;
3) какова чувствительность решения к ошибкам округления исходных данных.
Рассмотрим эти вопросы подробнее.
1) Теорема (из курса высшей алгебры)
Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от 0, имеет решение, причем единственное.
(Это условие необходимое, но не достаточное.)
2) К выбору методов решения необходимо подходить рационально: например, метод Крамера требует около n2n! операций умножения и деления.
Т.е. для системы с 20 уравнениями и 20 неизвестными это число составляет 1021. Для современных ЭВМ, выполняющих миллионы операций в сек., для решения такой системы потребуется около 1015 сек. или 3∙106 лет.
Следовательно, для систем высокого порядка требуются методы, приводящие к меньшему числу операций.