Функцией f называется однозначное соответствие, т.е. такое соответствие, при котором для пар (a 1, b 1) f и (a 2, b 2) f из a 2 = a 1 следует b 2 = b 1.
Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В,то говорят, что функция имеет тип А→В (обозначается f: А→В).
Каждому элементу а из области определения функция f ставит в соответствие элемент b из области значений. Это обозначается f (а) = b.
Элемент а – аргумент функции, элемент b — значение функции на а.
Функции f и g равны, если верны оба условия:
1) их области определения – одно и то же множество А,
2) для любого а A f (a) = g (a).
Функция типа называется п–местной. В этом случае принято считать, что функция имеет п аргументов:
f (a 1,..., ап) = b,где (a 1,..., ап) – кортеж, а 1 А 1,..., ап Ап, b В.
Поскольку функция – это соответствие, то для нее справедливы понятия обратной функции и композиции функций, но с некоторыми уточнениями.
Если соответствие, обратное к функции f: А→В,является функциональным (однозначным), то оно называется функцией, обратной к f (обозначается ).
|
|
Таким образом, для функции f: А→В обратная функция существует тогда и только тогда, когда f является взаимно однозначным соответствием между своими областями определения и значений, т.е. когда функция инъекция.
Пусть даны функции f: А → В и g: В → С. Функция h: A→C называется композицией функций f и g (обозначается f ○ g или просто fg), если имеет место равенство h (x) = g (f (x)), где х А. В этом случае говорят также, что функция h получена подстановкой f в g.
Для многоместных функций f: Ат → В, и g: Вn → С
возможны различные варианты подстановки f в g, дающие функции различных типов. Например, при т = 3 и п = 4 функция может иметь вид:
h = g (х 1, f (y l, y 2, y 3), x 3, x 4)
В данном случае функция имеет шесть аргументов и следующий тип:
B х A 3 х В 2 → С.
Функция, полученная из функций f 1,..., fn некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией f 1,..., fn. Выражение, описывающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки и символы аргументов и скобки, называется формулой.
Формально одноместную функцию можно записать как
Здесь f – обозначает множество пар (a, b), f (a) – обозначает b, соответствующее данному a.
Такое определение функции позволяет установить формы задания функций:
1) перечислением пар a, b;
2) формулой b = f (a);
3) графиком в виде точек на плоскости с координатами a и b;
4) рекурсивной вычислительной процедурой.
Например, функция f (x) = (х – 1) х = х!описывается рекурсивной вычислительной процедурой:
1) f (0) = 1;
2) f (x + 1) = f (x)(х + 1).
Вот некоторые, наиболее употребляемые, способы представления функций одного аргумента (унарных функций)
|
|
Функции могут представляться перечнем всех значений аргумента а и соответствующих им значений функции b, a, b M,представленных строкой:
= (a 1 → b 1, а 2 → b 2, ..., ап → bп),
а чаще парой строк:
Списком всех пар "аргумент–значение" (a, b) φ, a, b М, дл я всех возможных значений аргументов:
φ = {(a 1, b 1), (а 2, b 2),..., (аn, bn)}.
Число таких пар |пр1 φ| = т | M |.
Формулой φ(а) = b,например,
lga = b (явное префиксное задание), а 2 + b 2 – 1 = 0 (неявное задание).
Для функций двух переменных (бинарных функций) φ: М х М → М на конечном множестве М = { a 1, a 2,..., ап } наиболее часто применяют следующие способы задания.
Таблицей Кэли — таблица имеет число строк, равное числу значений аргумента a, и число столбцов, равное числу значений аргумента b. На пересечении строки, соответствующей аргументу а,и столбца, соответствующего аргументу b,записывается результат с выполненияфункцииφ над а и b.
В табл. 4.1 приведена таблица Кэли для функции, называемой "сложением по модулю 5" на множестве М= {0, 1, 2, 3, 4} и обозначаемой "+mod 5", или
(+ mod 5) | |||||
Таблица 4.1 Таблица Кэли функции “Сложение по модулю 5”
Результат с выполнения операции равен остатку от деления суммы аргументов (а + b)на5.
Так же функции могут описываться списком всех троек (а, b, с),где а, b – соответственно первый и второй аргументы из М, с – результат выполнения функции φ над а и b, a, b, c M. Для всюду определенной функции число всех троек в списке | М х M | = п 2.
Например, для функции сложения по модулю 3:
= {(0,0,0), (0,1,1), (0,2,2), (1,0,1), (1,1,2), (1,2,0), (2,0,2), (2,1,0), (2,2,1)}.
Формулой φ(а, b) = с – так называемое префиксное представление, например, (а + b)mod 3 = c; иное – инфиксное представление формулой а φ b = с,например, а b = с,где – операция сложения по модулю 3.
Вот еще пример: и f = a 1 + a 2.
Если для функции n аргументов предварительно зафиксировать список (последовательность) кортежей аргументов (a 1, a 2,..., ап),то для задания функции φ достаточно указать вектор значений (b 1, b 2,..., bn). При этом φ(a 1, a 2,..., ап) i = bi,т.е. результат выполнения функции φ для i –ого кортежа аргументов равен i –ойкомпоненте вектора значений. Такой способ задания функций применяется в булевой алгебре.
Рассматривая функцию стоит отдельно поговорить об о перации. Э то такая функция, у которой значения аргументов и ее собственные значения принадлежат одному и тому же множеству.
Поскольку операции это функции, то для их задания применимы все способы задания функций.
Операции обладают следующими свойствами:
Операция * идемпотентна, если x * x = x для любого x М.
Операция * коммутативна, если x * y = y * x для любых x, y М.
Операция * некоммутативна, если x * y = y * x для любых x, y М.
Операция * ассоциативна, если x * (y * z) = (x * y) * z для любых x, y, z М.
Операция * дистрибутивна относительно операции °, если
x ° (y * z) = (x ° y) * (x ° z) для любых x, y, z М.
Операции * и ° называют взаимно обратными, если x * y = z тогда и только тогда, когда z ° y = x для любых x, y, z М.
Про операцию * говорят, что она имеет нейтральный элемент, если во множестве М существует элемент (обозначим его e), такой что x * e = x для любого x М.
Если рассматриваемая операция обозначается знаком +, то нейтральный элемент обычно называют нулём, если знаком (умножить), то – единицей.
Важное понятие ф ункционал, устанавливает связь между множеством функций и множеством чисел. Пример – определенный интеграл
,
где f (x) – функция, a и b – пределы интегрирования, I – число.
Другой пример функционала – наибольшее значение функции f (x) на интервале [ a, b ].
Оператор определяет еще одну разновидность связи между функциями. Еще, как пример, можно привести оператор дифференцирования Dx = df (x)/ dx. Например, пусть f (x) = sin (x), тогда df (x)/ dx = cos (x).
|
|