Введём обозначения для основных характеристик СМО:
1) n ¾ число каналов системы.
2) ¾ плотность потока поступающих в систему заявок (количество заявок, которое поступает в систему за единицу времени).
3) ¾ интенсивность обслуживания заявок одним каналом (количество заявок, которое обслуживает один канал в единицу времени).
4) .
5) - вероятность того, что занято i каналов, где = 1, 2, ¼, n (вероятности состояний системы).
Основные формулы:
1. Условие вероятностной нормировки
2. Вероятности состояний
, k = 1, 2, …, n.
3. Вероятность обслуживания заявки
.
4. Среднее число занятых каналов
Û .
5. Вероятность занятости произвольно взятого канала
.
6. Вероятность простоя канала
= .
Задача 8.1. Гарантийная мастерская принимает заказы на ремонт по одному телефону. Среднее число поступающих в течение часа заявок равно =20.Среднее время оформления заявки равно 1 мин. Считается, что если клиент позвонил, а телефон в это время занят, то он обращается в другую мастерскую (одноканальная СМО с отказом). Найти основные характеристики СМО.
1. Вероятности состояний системы: - вероятность того, что система свободна, - вероятность того, что система занята..
2. Вероятность обслуживания поступившей в систему заявки .
3. Среднее число (математическое ожидание) числа занятых каналов .
4. Среднее время простоя канала .
Проанализировать, как изменятся характеристики СМО, если создать ещё один канал обслуживания? С какой интенсивностью должны обслуживать операторы в двухканальной СМО, чтобы доля потерянных заявок составила менее 20%?
Решение. 1) Мы имеем одноканальную СМО с показателями ; =20; (ч); . Показатель равен . Для нахождения , используем формулу: (k = 0; 1). Получаем: ; .
2) Вероятность обслуживания заявки равна
3) Среднее число занятых каналов равно
=
4) Найдём вероятность занятости канала (для одноканальной СМО )
5) Найдём среднее время простоя канала:
= (ч)
Рассмотрим теперь случай двухканальной СМО с отказом: ; .
1) Пусть - вероятности наличия 0, 1 и 2 заявок, обслуживаемых системой. Тогда
k = 0,1,2
Вычислим . Найдём теперь вероятности состояний
, , .
2) =24/25=0.96
3) = =8/25=0.32
4) =0.16
5) (ч)
Найдём интенсивность обслуживания двухканальной СМО, при которой теряется не более 20% заявок. Заявка, поступившая в систему, теряется в том случае, если заняты все каналы. В нашем случае =0.2. Параметр остается неизменным, так как не зависит от внутренних характеристик системы. Новую интенсивность обслуживания обозначим . Значение параметра можно найти из уравнения , откуда следует, что . Решая полученное уравнение, получим , . Последний корень не подходит, так как . Итак, , , откуда . Таким образом, для того, чтобы терялось не более 20% поступающих заявок, каждый канал должен обслуживать более 20 заявок в течение часа.
Задача 8.2. На диспетчерском пункте дежурят 4 приемщика заявок на ремонт телерадиоаппаратуры. Заявки принимаются по телефонам. В диспетчерский пункт поступает простейший поток заявок с интенсивностью заявки в минуту. Заявка, поступившая в момент, когда все приемщики заняты, получает отказ. Среднее время оформления заявки 0.5 мин. Найти следующие характеристики СМО:
1) pi - вероятность того, что занято i приемщиков (i = 0, 1, 2, 3, 4);
2) p обсл - вероятность того, что заявка будет принята;
3) - среднее число занятых приемщиков;
4) вероятность занятости каждого приемщика;
5) - среднее время простоя приемщика.
С какой интенсивностью должны работать два приемщика заявок, выполняя работу четырех человек, чтобы доля потерянных заявок осталась на прежнем уровне? Найти характеристики соответствующей двухканальной СМО.
Решение. Примем 1 минуту за единицу измерения времени. Имеем ; = 0.5; ; ; .
1) Воспользуемся формулой
= .
Найдем =1+2+2+8/6+16/24=7. Следовательно, ; =2/7; =2/7; =4/21; =2/21.
2) Вероятность того, что заявка будет принята, равна = = 1 - 2/21 = 19/21.
3) Вероятность того, что клиент уйдет не обслуженным, равна =2/21.
4) Среднее число занятых приемщиков
= =38/21 1.81.
5) Обозначим вероятности состояний двухканальной системы: ; ; . Пусть - интенсивность работы канала в двухканальной системе (то есть количество клиентов, которых приемщик обслуживает за 1 мин.). Пусть . Поток целей для двухканальной системы имеет прежнюю интенсивность =4. Клиент остается не обслуженным в случае, если все приемщики заняты. Приравняем вероятности Û . После преобразований получим квадратное уравнение . Решая это уравнение, получим ; <0. Отрицательное значение не отвечает смыслу задачи. Найдем из уравнения . Получим (клиентов в минуту). Вывод: того, чтобы доля необслуженных клиентов не возросла при сокращении числа приемщиков с четырех до двух, каждый приемщик должен повысить интенсивность своей работы более чем в 3 раза по сравнению с 4-х канальной системой, то есть за минуту обслуживать 6,56 клиентов вместо двух.
Задача. Рассмотрим работу платной телефонной справочной службы, имеющей 2 телефонные линии. За 1 час в среднем поступает 30 запросов, а один оператор может ответить на 20 запросов. Платная справка стоит 5 рублей, затраты на зарплату оператору и обслуживание одной телефонной линии составляют 30 рублей в час. Затраты на создание одной телефонной линии составляют 15000 рублей. Определить:
1) Прибыль телефонной справочной за 1 час работы.
2) За какое время окупятся затраты на оборудование?
3) Выгодно ли установить третью телефонную линию?