Любое реальное колебание происходит в какой-либо среде, которая оказывает сопротивление движению. На преодоление сопротивления среды расходуется часть энергии колеблющегося тела. Происходит рассеяние энергии и уменьшение амплитуды колебаний.
Колебания, амплитуда которых медленно уменьшается с течением времени, называются затухающими.
При достаточно малых скоростях сила сопротивления оказывается пропорциональной скорости:
(1.80)
где r – коэффициент сопротивления, характеризующий взаимодействие тела со средой (r>0). Знак «-» показывает, что сила сопротивления направлена противоположно скорости.
II закон Ньютона при наличии сил сопротивления примет вид:
(1.81)
Введем обозначения: , где - частота собственных колебаний ГО; , где - коэффициент затухания. Тогда (1.81) перепишется в виде:
(1.82)
Выражение (1.82) – дифференциальное уравнение затухающих колебаний ГО.
Решением (1.82) является функция
(1.83)
Циклическая частота затухающих колебаний
(1.84)
период затухающих колебаний
|
|
(1.85)
Из (1.83) видно, что затухающие колебания можно рассматривать как гармонические колебания, амплитуда которых меняется по закону:
(1.86)
Выясним физический смысл коэффициента затухания .
Пусть - время релаксации, т.е. промежуток времени, за который амплитуда колебаний уменьшилась в e раз.
Найдем отношение амплитуд, соответствующих моментам времени t и (t+t):
(1.87)
по определению t имеем , откуда
и (1.88)
Следовательно, коэффициент затухания есть величина, обратная тому промежутку времени, за который амплитуда уменьшается в e раз.
Найдем теперь отношение двух амплитуд At и A(t+T), отстоящих друг от друга на период:
(1.89)
Натуральный логарифм отношения двух амплитуд, отстоящих друг от друга на период, называется логарифмическим декрементом затухания:
(1.90)
С учетом (1.89)
(1.91)
Обозначим через Nе число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается вe раз. Тогда и , т.е. логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в eраз.
Для характеристики колебательной системы, кроме логарифмического декремента затухания, используется также величина
(1.92)
называемая добротностью контура.
Заметим, что все приведенные здесь вывода верны при . Если затухание велико , то возникающее движение не является колебательным и носит апериодический характер.