Если известны значения функции f (x) в некоторых точках x 0, x 1, …, xm, то в качестве функции «близкой» к f (x) можно взять многочлен Р (х) степени не выше m, значения которого в выбранных точках равны значениям функции f (x) в этих точках.
Разобьем отрезок интегрирования [ a; b ] на n равных частей. Обозначим длину каждой части . При этом y 0 = f (x 0 ), y 1 = f (x 1 ), …., yn = f (xn).
Составим суммы: y 0 Dx + y 1 Dx + … + yn-1Dx
y 1 Dx + y 2 Dx + … + ynDx
Это соответственно нижняя и верхняя интегральные суммы. Первая соответствует вписанной ломаной, вторая – описанной.
Тогда
или (9.1)
любая из этих формул может применяться для приближенного вычисления определенного интеграла и называется общей формулой прямоугольников.