Представление информации в вычислительных машинах

Информация в компьютере кодируется в двоичной или в двоично-десятичной си­стемах счисления.

Система счисления - способ наименования и изображения чисел с помощью сим­волов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от спо­соба изображения чисел, системы счисления делятся на следующие:

q позиционные;

q непозиционные.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зави­сит от ее места (позиции) в числе. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в чис­ле. Количество (Р) различных цифр, используемых для изображения числа в по­зиционной системе счисления, называется основанием системы счисления. Зна­чения цифр лежат в пределах от 0 до Р - 1.

В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основани­ем Р будет представлять собой ряд вида:

N = a_{m- 1} Р^{m- 1} + a_{m- 2} P^{m- 2} +…+ a ₁ P ¹ + a ₀ P ⁰ + a_{- 1} P^{- 1} + a_{- 2} P^{- 2} +…+ a_{- s} P^{- s}. (1)

Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):

q положительные значения индексов – для целой части числа (т разрядов);

q отрицательные значения – для дробной (s разрядов) части числа.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в т разрядах:

N_max=P^m -1. (2)

Минимальное значащее, не равное 0 число, которое можно записать в s разрядах дробной части:

N _min= P^-s.

Имея в целой части числа m, а в дробной – s разрядов, можно записать всего P^m+s разных чисел.

Двоичная система счисления имеет основание Р = 2 и использует для представле­ния информации всего две цифры: 0 и 1. Существуют правила перевода чисел из одной системы счисления в другую, основанные, в том числе, и на соотношении (1).

Например, двоичное число 101110,101 равно десятичному числу 46,625.

101110,101₍₂₎ = 1·2⁵ + 0·2⁴ + 1·2³ + 1·2² + 1·2¹ + 0·2⁰ + 1·2^-1 + 0·2^-2 + 1·2^-3 =

=46,625₍₁₀₎.

Практически перевод из двоичной системы в десятичную можно легко выполнить, надписав над каждым разрядом соответствующий ему вес и сложив затем произ­ведения значений соответствующих цифр на их веса.

Двоичное число 01000001₂ равно 65₁₀. Действительно, 64·1 + 1·1 = 65.

Вес Цифра

Для перевода из двоичной системы в десятичную можно воспользо­ваться и другим приемом: слева направо, начиная со старшего разряда, производится цепочка умножений на 2 с прибавлением 1, если в сле­дующем разряде стоит 1, и без прибавления 1, если в следующем раз­ряде стоит 0. Произведем для примера перевод двоичного кода 1011:

1·2 = 2; 2·2 + 1 = 5; 5·2 + 1 = 11.

Действительно,

1·2³ + 0·2² + 1·2¹+1·2⁰ = 11.

Таким образом, для перевода числа из позиционной системы счисления с любым основанием в десятичную систему счисления можно воспользоваться выражени­ем (1).

Для перевода из десятичной системы в двоичную можно произво­дить цепочку делений на 2 и справа налево записывать остатки:

11: 2 = 5 1

5: 2 = 2 11

2: 2 = 1 011

1: 2 = 0 1011

Обратный перевод из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием непосредственно по формуле (1) весьма за­труднителен, ибо все арифметические действия, предусмотренные этой формулой, следует выполнять в той системе счисления, в которую число переводится.

Алгоритм перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с основанием Р,основанный на этих выражениях, позволяет оперировать с числа­ми в той системе счисления, из которой число переводится, и может быть сформулирован следующим образом.

При переводе числа следует переводить его целую и дробную части отдельно.

Для перевода целой части необходимо после деления ее на Р, выполнить последовательные деления на Р целых частей получающихся част­ных до тех пор, пока очередная целая часть частного не окажется равной 0. Остатки от деления, за­писанные последовательно справа налево, образуют целую часть числа в систе­ме счисления с основанием Р.

Для перевода дробной части необходимо после умножения ее на Р, выполнить последовательные умножения на Р дробных частей получающихся произведений до тех пор, пока очередная дробная часть произведения не окажется равной 0 или не будет достигнута нужная точность дроби. Целые части произведений, записанные после запятой последовательно слева направо, образуют дробную часть числа в системе счисления с основанием Р.

Рассмотрим перевод числа из десятичной системы в двоичную систему счи­сления на примере числа 46,625. Переводим целую часть числа:

46: 2 = 23 (оста­ток 0);

23: 2 = 11 (остаток 1);

11: 2 = 5 (остаток 1);

5: 2 = 2 (остаток 1).

2: 2 = 1 (остаток 0).

1: 2 = 0 (остаток 1).

Записываем остатки последовательно справа на­лево – 101110, то есть 46₁₀= 1011102₂.

Переводим дробную часть числа:

0,625 · 2 = 1,250;

0,250 · 2 = 0,500;

0,500 · 2 = 1,000.

Записываем целые части получающихся произведений после запятой последовательно слева направо – 0,101, то есть 0,625₁₀ = 0,101₂. Окончательно 46,625₁₀= 101110,101₂.