Определение 11.1

Уравнение

(11.1)

называется дифференциальным уравнением n-го порядка Здесь Ғ(u,v₀,v₁,,...,v_n)-функция, непрерывная вместе со своими

частными производными на некоторой области (П)

точек (u,v_o,v,,...,v_n) (n+2) - мерного пространства. Разрешим уравнение (11.1) относительно у^(п|, получим

y⁽ⁿ⁾ = f(x,y,y,...,y^(n-1)) (11.2)

Справедлива

Теорема 11.1 (существования) Пусть правая часть f(x_o,y_o,yo,...,y)," уравнения (11.2), рассматриваемая как функция n+1 переменной определена в области (П) и имеет в некоторой окрестности точки

непрерывные частные производные

Тогда существует интервал (а,Ь) и определена на нем непрерывная дифференцируемая функция у = у(х), удовлетворяюща уравнению (11.2) и начальным условиям

(11.3)

функция у = у(х), обладающая указанным свойствам единственна. Таким образом у(х) есть решение уравнения (11.2), удовлетворяюща начальным условиям (11.3). Если зафиксировать х₀, то каждой системе чисел

обладающих свойством

(х_о,С_1.С₂,...,С_п) (ІІ)

будет соответствовать решению нашего дифференциального уравнения, которое (при фиксировании х₀!) можно записать в виде

у = у(х,С„С_а,...,С.) (11.4)

В результате получаем семейство решений нашего дифференциального уравнения, зависящих от n параметров С,,С₂,...,С„. Каждый определенной системе (С,,С₂,...,С_П) параметров (Сх_о,С_І,...,С„)е(П) соответствует свое решение дифференциального уравнения (со своим интервалом определения).