Предположим, что вероятность попадания в цель при одном выстреле равна р, q=1-р – вероятность промаха. Испытание заключается в том, что стреляют в цель до первого попадания и на этом стрельба заканчивается. Число произведенных выстрелов Х является случайной величиной, которая может принимать любые целые значения k³1. Найдем закон распределения Х. Для этого рассмотрим следующие случайные события:
А1 – при первом выстреле был промах;
А2 – при втором выстреле был промах;
… и т.д.
События А1, А2… - попарно независимы. Поэтому по формуле умножения вероятностей получим, что:
p(X=1)=p(`A1)=p;
p(X=2)=p(A1`A2)=p(A1)×p(`A2)=q×p;
p(X=3)=p(A1A2`A3)=p(A1)×p(A2)×p(`A3)=q2×p;
…
p(X=k)=p(A1×A2…Ak-1×`Ak)=qk-1×p.
Таким образом, получаем закон распределения этой случайной величины, который принято называть геометрическим:
Х | 1 | 2 | 3 | … | k | … |
P | P | qp | q2p | … | qk-1p | … |