Вычисление длин дуг плоских кривых

В элементарной геометрии измерялись длины прямолинейных отрезков, а также длина окружности и ее частей. За длину окружности принимается предел периметров правильных вписанных в окружность многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Обобщим это понятие для любой кривой.

Определение. Длиной L дуги АВ называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломанной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится к нулю:

Кривые, для которых этот предел существует, называются спрямляемыми.

Теорема. Пусть кривая АВ задана уравнением y=f(x), где f(x) – непрерывная функция, имеющая непрерывную производную во всех точках сегмента [ a;b ]. Тогда дуга АВ имеет длину:

,

Пример 1.Найти длину дуги полукубической параболы от х=0 до х=5. Решение:Кривая симметрична относительно оси Ох. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения находим . Далее, применяя формулу, получим = (ед.)

Пример 2. Вычислить длину дуги параболы у²=4х от х=0 до х=1.

Решение.

у

х

-2

Для наглядности выполним чертеж.

Для нахождения длины дуги параболы можно воспользоваться формулами: Так как Тогда по формуле (1) получим: Этот интеграл довольно сложный. Поэтому воспользуемся формулой (2)

Для этого выразим из уравнения параболы х и найдем производную по «игреку»:

Тогда длина дуги будет равна:

Замечание.