2015-03-27
567
Пример 1. Пылинки массой m=10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всём объеме одинакова и равна 300 К.
Решение. При равновесном распределении пылинок концентрация их зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно применить формулу Больцмана
. (1)
Так как в однородном поле силы тяжести U= 
, то
n=n 0e-mgz/(k T) (2)
По условию задачи, изменение D n концентрации с высотой мало по сравнению с n (D n / n =0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации D n можно заменить дифференциалом d n.
Дифференцируя выражение (2) по z, получим
d п = -п 0 
e-mgz/(k T ) 
Так как п 0e-mgz/(k T )= n, то d n =- 
.
Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:
dz= - 
Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (d n <0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и d n конечными приращениями D z и D n:
|
|
|
D z = 
.
Подставим в эту формулу значения величин D n / n =0,01, k=1,38×10-23 Дж/К, T =300 К, m= 10-21 кг, g=9,81 м/с2 и, произведя вычисления, найдем
D z =4,2 мм.
Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок очень быстро изменяется с высотой.
