Примеры решения задач. Пример №1. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик

Пример №1. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Определить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся.

Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости.от размеров в формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром , то число Рейнольдса определяется по формуле

, (1)

а критическое значение этого числа =0,5.

Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На свинцовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:

1) сила тяжести шарика

,

где p _св — плотность свинца; V— объем шарика;

2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда.

где —плотность глицерина;

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,

,

При установившемся движении шарика в жидкости (v=const) сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е.

,

откуда

(2)

Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем

.

Максимальное значение диаметра d_max при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса Re _кp. Поэтому

.

Подставив сюда значения величин h (см. табл. 14), Re _кp, p _cв, p _гл и произведя вычисления, получим

d_max =5,29 мм.

Пример №2. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака и бьет из отверстия II—II со скоростью v ₂= 12 м/с. Диаметр D бака равен 2м,диаметр d сечения II—II равен 2 см. Найти: 1) скорость v ₁ понижения воды в баке; 2) давление p₁, под которым вода подается в фонтан; 3) высоту h₁ уровня воды в баке и высоту h₂ струи, выходящей из фонтана.

Решение. 1. Проведем сечение I—I в баке на. уровне сечения II—II фонтана. Так как площадь S₁ сечения I—I много больше площади S₂ сечения II—II, то высоту h₁ уровня воды вбакеможно считать длямалого промежутка времени постоянной, а поток—установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи: откуда .

Подставив в равенстве (1) значения заданных величин и произведя вычисления, найдем

м/с.

С такой же скоростью будет понижаться уровень в баке. Как видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.

2. Давление p1, под которым вода подается в фонтан, найдем по уравнению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид

. (2)

Учтя, что p₂ =0 (под давлением подразумевается избыточное над атмосферным давление), из уравнения (2) получим

. (3)

Так как v ₁ <<v ₂, то из равенства (3) следует

.

После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем

p₁=72 кПа.

3. Высоту h₁ уровня воды в баке найдем из соотношения p₁ = h₁ p g, откуда

h₁=p₁/( p g).

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

h₁ =7,35 м.

Зная скорость v ₂,с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем высоту h₂, на которую она будет выброшена:

=7,35 м.

Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.