Уравнение теплопроводности (распространение тепла в пространстве)

Рассмотрим в качестве примера нестационарное уравнение теплопроводности, которое получается на основании закона Фурье, согласно которому вектор плотности теплового потока пропорционален градиенту температуры :

, (3.1)

где – коэффициент теплопроводности.

Плотность теплового потока равна количеству теплоты, протекающему в единицу времени через единичную площадь изотермической поверхности.

Рассмотрим задачу о нестационарном распределении тепла в некотором объеме , ограниченном замкнутой поверхностью трехмерного пространства .

Количество тепла , выделившегося в объеме , ограниченного поверхностью , за некоторый промежуток времени , можно определить как

, (3.2)

где – суммарное количество тепла, выделяющегося в единицу времени в объеме , ограниченном поверхностью , определяемое интегралом:

, (3.3)

где – известное распределение плотности источников тепла.

Учитывая, что рассматривается неравновесное состояние системы, часть тепла идет на изменение во времени температуры в объеме и определяется выражением:

, (3.4)

где – суммарное количество тепла, необходимого для изменения температуры объема на один градус; – изменение температуры объема за промежуток времени .

Остальная часть тепла протекает через ограничивающую поверхность площадью :

, (3.5)

где – суммарное количество тепла, протекающего в единицу времени через поверхность , определяемое интегралом:

, (3.6)

где – вектор, модуль которого численно равен площади соответствующего бесконечно малого элемента поверхности, а направление совпадает с направлением нормали к этому элементу; – скалярное произведение векторов и ; – угол между ними.

Иными словами, в нестационарном случае должно быть справедливо уравнение:

. (3.7)

Учитывая, что в общем случае неоднородной среды суммарное количество тепла , необходимое для изменения температуры объема на один градус определяется выражением:

, (3.8)

где – плотность вещества; – удельная теплоемкость вещества, подставляя выражения (3.3), (3.6), (3.8) в уравнение (3.7) и применяя теорему Остроградского-Гаусса , получим:

, (3.9)

откуда, вынося подынтегральные выражения, разделив левую и правую части на и подставляя закон Фурье (3.1), можем записать нестационарное уравнение теплопроводности в векторной форме:

. (3.10)