Типовые задачи для письменных контрольных работ

- Магазин продает два вида безалкогольных напитков: А и В. Доход от одной банки А составляет 5 у.е., от В 7 у.е. В среднем магазин за день продает не более 500 банок обоих напитков. Покупатели предпочитают напиток В, поскольку оно дешевле. Объемы продаж В к А относятся как 2:1. Известно, что магазин продает не менее 100 банок напитка А в день. Сколько банок каждого напитка должен иметь магазин в день? Определить соотношение доходов от напитков А и В, сохраняя найденное оптимальное решение?

************************************************

- Банк в течение нескольких месяцев планирует вложить 200000$ в кредитование частных лиц и покупок автомобилей. Банковские комиссионные составляют 14 % при кредитовании частных лиц и 12 % при кредитовании покупок автомобилей. Оба типа кредитов возвращаются в конце годичного периода кредитования. Около 3 % клиентских и 2 % автомобильных кредитов не возвращаются совсем. Объемы кредитов на покупку автомобилей более чем в два раза превышают клиентские. Найдите оптимальное размещение средств по двум описанным выше видам кредитования и определите коэффициент возврата по всем кредитам? Изменится ли оптимальное решение, если процент не возвратов будет 4 % и 3 % соответственно?

**************************************************

Корпорация является собственником электрогенерирующей станции. Она имеет богатые запасы угля и для генерации эл. тока использует уголь. Агентство по защите окружающей среды установило следующие ограничения: концентрация выбрасываемого в воздух сернистого газа не должна превышать

- 0,0002, количество выбрасываемы в воздух аэрозольных частиц не должно превышать 200 фунтов в час. Корпорация для генерации тока использует уголь двух видов С1 и С2. Они смешиваются перед сжиганием. Характеристики используемых сортов угля приведены в таблице.

Сорт угля	Концентрация серы	Количество выделяемых аэрозольных частиц (фунт/час)	Генерируемая мощность (фунт/час)
С1	0,0018	2,1
С2	0,021	0,9

Найти оптимальную смесь обоих сортов угля?

***************************************************

- Нефтедобывающая компания, расположенная на острове Аруба, добывает 600000 баррелей сырой нефти в день. Нефтеперерабатывающий завод производит два вида неэтилированного бензина: рядовой и высококачественный. Процесс нефтепереработки включает три стадии: 1) перегонка сырой нефти на перегонной колонке – на выходе бензиновый полуфабрикат; 2) часть полуфабриката поступает на крекинг установку, где производят бензиновый дестиллят; 3) смесительная установка смешивает бензиновый полуфабрикат, полученный на выходе перегонной колонны, и бензиновый дестиллят. Рядовой и высококачественный бензин можно получить на основе бензинового дестиллята или бензинового полуфабриката, но стоимость таких видов бензина будет разной. Чистая прибыль от одного барреля рядового бензина составляет 7 у.е. и 5 у.е., в зависимости от того, будет ли основой бензина полуфабрикат или дестиллят. Аналогичная чистая прибыль от одного барреля высококачественного бензина составляет соответственно 12 у.е. и 10 у.е. Далее, на производство одного барреля полуфабриката идет 5 баррелей сырой нефти. Крекинг – установка за день не может переработать более 40000 баррелей полуфабриката. Весь остальной полуфабрикат идет на изготовление чистого бензина через смесительную установку. Ежедневно требуется производить не более 80000 баррелей рядового бензина и 50000 баррелей высококачественного бензина. Разработайте математическую модель для нахождения оптимального производства бензина всех видов на заводе?

************************************************

- Автомобильная компания имеет три завода в А, В и С городах и два распределительных центра в Д и К. Объемы производства заводов кампании в следующем квартале составят соответственно 1000, 1500 и 1200 автомобилей. Ежеквартальная потребность распределительных центров составляет 2300 и 1400 автомобилей. Расстояние в км. Между заводами и распределительными центрами в таблице.

	Д	К
А
В
С

Транспортная кампания оценивает свои услуги в 8 у.е. за перевозку одного автомобиля на расстоянии в один км. Стоимость перевозок представлена в таблице (у.е.)

	Д	К
А
В
С

Определите план оптимальных поставок автомобилей к распределительным центрам, используя метод потенциалов.

*********************************************

- Шериф округа Вашингтон принимает участие в выборах на следующий срок. Денежные средства на его компанию составляют 10000 у.е. Ограниченность в денежных средствах не дает возможности проведения компании во всех пяти округах. Таблица о количестве избирателей и возможности размещения денежных средств в округах ниже:

Участок	Число избирателей	Необходимые средства (в у.е.)

Как следует разместить денежные средства?

*********************************************

- Ресторан заказывает мясной фарш в начале каждой недели для удовлетворения недельного спроса в 300 кг. Фиксированная стоимость размещения заказа равна 600 руб. Стоимость замораживания и хранения 1 кг. фарша обходится ресторану в 0,5 руб в день. Определите недельные затраты ресторана, связанные с существующей стратегией создания запаса фарша? Определите оптимальную стратегию управления запасами в предположении, что время выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равно 0?

*********************************************

- Магазин прессует и складывает в поддоны пустые картонные упаковочные коробки для их последующей переработки. За день штабелируется пять поддонов. Стоимость хранения одного поддона на заднем дворе магазина составляет 0,1 у.е. в сутки. Компания, перевозящая поддоны в перерабатывающий центр, установил оплату в 100 у.е. за аренду одного погрузчика плюс 3 у.е. за перевозку одного поддона. Изобразить графически изменение количества поддонов с течением времени и разработать оптимальную стратегию доставки поддонов в центр?

***********************************************

- Фирма может производить изделие или покупать его у подрядчика. Если фирма сама выпускает изделие, то каждый запуск его в производство обходится в 20 у.е. Мощность производства составляет 100 единиц в день. Если изделие закупается, затраты на размещение заказа равны 15 у.е. Затраты на содержание изделия на складе, независимо покупается оно или производится, равны 0,02 у.е. в день. Потребление изделий фирмой оценивается в 260000 ед. в год. Что выгоднее фирме покупать изделие или его производить?

*********************************************

- Решив купить автомобиль, человек сузил выбор до трех моделей А.В.С. Факторы, повлиявшие на его решение: стоимость автомобиля (С), стоимость обслуживания (О), стоимость поездки по городу (Г) и сельской местности (М). Таблица содержит необходимые данные (в у.е.), соответствующие трехгодичному сроку эксплуатации автомобиля.

Модель	С	О	Г	М
А
В
С

Постройте матрицы сравнения. Оцените согласованность матриц и определите модель автомобиля, которая будет выбрана.

************************************************

- Предположим, что вы хотите вложить на фондовой бирже 10000 у.е. в акции одной из двух компаний А или В. Акции компании А являются рискованными, но могут принести 50 % прибыли от суммы инвестиций на протяжении следующего года. Если условия фондовой биржи будут неблагоприятны, сумма инвестиций может обесцениться на 20 %/ Компания В обеспечивает безопасность инвестиций с 15 % прибыли в условиях повышения котировок на бирже и только 5 % в условиях понижения котировок. Все аналитики с вероятностью 60 % прогнозируют повышение котировок и с вероятностью 40 % понижение. В какую компанию вложить деньги, если:

Алтернатива	Прибыль от инвестиций за один год
При повышении котировок (у.е.)	При понижении котировок (у.е.)
Акции компании А		-2000
Акции компании В
Акции компании С	0,6	0,4

***********************************************

- Фирма планирует открыть новое предприятие в Арканзасе. В настоящее время имеется возможность построить либо крупное предприятие, либо небольшое, которое через два года можно будет расширить, при условии высокого спроса на выпускаемую продукцию. Рассматривается задача принятия решений на 10 лет. Фирма оценивает, что за эти 10 лет вероятность высокого и низкого спроса на продукцию будет равна 0,75 и 0,25 соответственно. Стоимость немедленного строительства крупного предприятия равна 5 млн. у.е., а небольшого 1 млн. у.е. Расширение его через 2 года обойдется фирме в 4 млн. у.е. Прибыль, получаемая от функционирования производственных мощностей на протяжении 10 лет в таблице.

Альтернатива	Ожидаемый доход за год (тыс. у.е.)
Высокий спрос	Низкий спрос
Крупное предприятие сейчас
Небольшое предприятие сейчас
Расширенное предприятие через два года

Постройте дерево решений, принимая во внимание, что через два года фирма может либо расширить небольшое предприятие, либо нет? Сформулируйте стратегию строительства для фирмы на 10 летний период?

*********************************************

- Инвестор А (10000 у.е.) имеет возможность сделать инвестицию в одно из двух рисковых предприятий: 1 или 2. Инвестиция в предприятие 1 может принетси прибыль в суме 3000 у.е. с вероятностью 0,4 или убыток в 1000 у.е. с вероятностью 0,6. Инвестиция в предприятие 2 может принести прибыль в 2000 у.е. с вероятностью 0,6 или не принести прибыли с вероятностью 0,4. Используя функцию полезности инвестора А и критерий ожидаемой полезности, определите предприятие для выбора инвестора А. Каково ожидаемое денежное значение, соответствующее выбранному предприятию?

***********************************************

- В приближении посевного сезона фермер имеет четыре альтернативы:

А1 – выращивать кукурузу;

А2 – выращивать пшеницу;

А2 – выращивать соевые бобы;

А4 – использовать землю под пастбища.

Платежи, связанные с указанными возможностями, зависят от количества осадков, которые можно разделить условно на четыре категории:

S1 – сильные осадки;

S2 – умеренные осадки;

S3 – незначительные осадки;

S4 – засушливый сезон.

Матрица платежей (в у.е.) имеет вид:

	S1	S2	S3	S4
А1	-20			-5
А2
А3	-50			-10
А4

************************************************

- Две фирмы производят два конкурирующих товара. Каждый товар в настоящее время контролирует 50 % рынка. Улучшив качество товаров, обе фирмы собираются развернуть рекламные кампании. Если они этого не сделают, то существующее состояние рынка не изменится. Если одна из фирм будет более активной, то другая потеряет часть своего рынка. Исследование рынка показывает, что 50 % потенциальных потребителей получают информацию из TV, 30 % из газет, 20 % посредством радио. Сформулируйте задачу в виде игры двух лиц с нулевой суммой и выберите подходящие средства рекламы для каждой фирмы?

**************************************************

- В небольшом городе дети рождаются с интенсивностью одно рождение каждые 12 минут. Время между рождениями распределено по экспоненциальному закону. Требуется определить следующее:

- Среднее число рождений за год?

- Вероятность того, что на протяжении одного дня не будет ни одного рождения?

- Вероятность выдачи 50 свидетельств о рождении к концу третьего часа, если известно, что на протяжении последних двух часов было выдано 40 таких свидетельств?

**************************************************

- Банк имеет один пункт, где клиенты обслуживаются в автомате, не выходя из автомобиля. Клиенты прибывают с интенсивностью 12 в час. Время необходимое для обслуживания одного клиента в среднем 6 минут. Максимальная вместимость полосы обслуживания банкоматом составляет 10 автомобилей. При заполнении полосы, клиенты вынуждены искать обслуживания в другом банкомате. Найти вероятность того, что прибывающий клиент обслужится в данном банкомате? Найти вероятность того, что прибывший клиент не воспользуется услугой без ожидания? Найти среднее число автомобилей в полосе ожидания?

**************************************************

- Ресторан быстрого питания имеет один пункт обслуживания, клиенты обслуживаются не выходя автомобиля. Интенсивность потока клиентов 2 каждые 5 минут. Время обслуживания 1,5 минуты. В очереди могут находиться не более 10 автомобилей. Определить вероятность того, что пункт свободен? Найти среднее число ожидающих клиентов? Определить среднее время ожидания обслуживания каждым клиентом?

************************************************

- В кафетерии 50 мест. Посетители прибывают 10 человек в час и обслуживаются с интенсивностью 12 человек в час. Какова вероятность, что вновь прибывший посетитель не сможет пообедать по причине свободных мест? Смогут ли трое вновь прибывших случайным образом клиента сесть по их желанию за один столик (предположим, что есть возможность посадить их вместе, если имеются 3 свободных места)?

4. ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев В. М., Голеев В. М., Тихомиров В. М. Сборник задач по оптимизации: Теория, примеры, задачи. М., Наука, 1984.

2. Вентцель Е.С Исследование операций. Задачи. Принципы. Методология, 1980.

3. Горелик В.А., Ушаков И.А. Исследование операций. - М.: Машиностроение, 1986.

4. Исследование операций/ Под редакцией М.А. Войтенко и Н.Ш. Кремера.-М.: Экономическое образование, 1992.

5. Карасев А.И., Аксютин З.М., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании М.: Экономика, 1987.

6. Глущенко В.В., Глущенко И.И. Финансы. Финансовые политика, маркетинг, менеджмент. Финансовый риск – менеджмент. г. Железнодорожный, Моск. обл., ООО НПЦ «Крылья», 1998.

7. Глущенко В.В., Глущенко И.И. Исследование систем управления. г. Железнодорожный, Моск. обл., ООО НПЦ «Крылья», 2000.

8. Карлоф Б. Деловая стратегия. Пер. с англ. М., Экономика, 1991.

9. Кондратова И.Г. Основы управленческого учета. М., Финансы и статистика, 1998.

10. Андреев В. Д. Практический аудит (справочное пособие). М., Экономика, 1994.

11. Саркисян С.А. Теория прогнозирования и принятия решений. Учеб. пособ. М., Высш. шк., 1997.

12. Беляев А.А., Коротков Э.М. Системология. - М.: ИНФРА-М, 2000.

13. Валуев С.А., Волкова В.Н., Игнатьева А.В. и др. Системный анализ в экономике и организации производства. - Л.: Политехника, 1991.

14. Герчикова И.Н. Менеджмент. - М.: ЮНИТИ, 1995.

15. Голубков Е.П. и др. Маркетинг: выбор лучшего решения. - М.: Экономика,1993.

16. Гречихин В. Г. Лекции по методике и технике социологических исследований // М.: Изд-во Московского университета, 1988.

17. Коротков Э.М. Исследование систем управления. - М.: "ДеКА", 2000.

18. Коротков Э.М. Концепция менеджмента. - М.: "ДеКА, 1996.

19. Максимцов М.М., Игнатьева А.В., Комаров М.А. и др. Менеджмент, М.: ЮНИТИ, 1998.

20. Ременников В.Б. Разработка управленческого решения. Учеб. пособие. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.

21. Словарь-справочник менеджера. /Под ред. М.Г. Лапусты. - М.: ИНФРА, 1996.

22. Скоун Т. Управленческий учет./Пер. с англ. под ред. Н.Д. Эриашвили. М.: ЮНИТИ, 1997.

23. Справочник директора предприятия. /Под ред. М.Г. Лапусты. - М.: ИНФРА, 1998.

24. Смолкин А.М. Менеджмент: основы организации. - М.: ИНФРА-М, 1999.

25. Сэмюэл А. Мэлоу. Навыки мышления для менеджера. - Ростов-на-Дону: "Феникс", 1997.

26. Управление организацией. /Под ред. А.Г. Поршнева, З.П. Румянцевой, Н.А. Саломатина. -М.: ИНФРА-М, 1999.

27. Шевырев А. В. Технология творческого решения проблем (эвристический подход) или Книга для тех, кто хочет думать своей головой: Книга вторая. Техника творчества. Организация творческого процесса. – Белгород. 1995.

28. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., Наука, 1985.

29. Ильин В.А.., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., Наука, 1983.

30. Ильин В.А.., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., Наука, Ч.1,2, 1980.

31. Кудрявцев Л.Д.. Курс математического анализа. М., Высш. шк., Т. 1-3, 1988.

32. Кудрявцев Л.Д.., Кутасов А..Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость. М., Наука, 1984.

33. Кремер Н. Ш., Путко Б. А.., Тришин И.М., Фридман М. Ф. Высшая математика для экономистов. М., Банки и биржи, ЮНИТИ, 1998.

34. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие для вузов. М., Высш. шк., 1999.

35. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов. Руководство для решения задач. Ростов н/Д., Феникс., 1999.

36. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М., Наука., 1987.

37. Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Наука., 1982.

38. Севастьянов Б.А., Чистяков В.П., Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей. М., Наука., 1980.

39. Багриновский К.А., Бусыгин В.П. Математика плановых решений. - М.: Наука, 1980.

40. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. - М.: Наука, 1979.

41. Крушевский А.В. Справочник по экономико-математическим методам и моделям. - К.: Технiка, 1982.

42. Большие системы: моделирование организационных механизмов/ В.Н. Бурков и др. - М.: Наука, 1989.

43. Терехов Л.Л. Экономико-математические методы: Учеб. пособие для эконом. вузов. - М.: Статистика, 1972.

44. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.И. Математические методы и модели в планировании: Учеб. пособие для эконом. вузов. - М.: Экономика, 1987.

45. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. - М.: Статистика, 1977.

46. Таха Х. Введение в исследование операций, кн.2.- М.: Мир, 1985

47. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование. - М.: Мир, 1967.

48. Суспицын С.А. Общие модели экономики и экономическая реформа (опыт аксиоматических построений). Препринт. Новосибирск: ИЭиОПП СО РАН, 1991.