Определение реакции опор

Для этого следует составить уравнение равновесия этой балки. Так как балка закреплена на двух опорах А и В и нам не известны значения реакций этих опор, то лучше составить уравнение суммы моментов всех внешних сил относительно точки А. В это уравнение не войдет реакция R_A, потому что она проходит через эту точку (плечо этой силы относительно точки А равно нулю, следовательно, и момент равен нулю). При составлении этого уравнениям примем следующее правило: момент внешней силы примем положительным, если он стремится вращать балку против часовой стрелки, и отрицательным – по часовой стрелке.

Уравнение равновесия (см. рис. 6):

ΣМ_А = 0, т.е. P*(a+b+c) – q*c*(a+b+c/2) +R_B*(a+b) +M = 0.

Отсюда R_B = 19,294 кН.

Составим уравнение суммы моментов относительно точки В и найдем R_A:

ΣМ_B = 0, т.е. – R_A*(a+b) + M – q*c*c/2 + P*c = 0.

Отсюда R_А = 0,706 кН.

Для проверки составим уравнение суммы проекций всех сил на вертикальную ось «y»:

R_А + R_В – q*c +P = 0. Проверка сошлась, следовательно, значения реакций определены верно.

2. Построение эпюры поперечных сил (см. рис. 6)

Правило знаков для поперечной силы         ` +                     Q             ` -

Правило: поперечная сила в рассматриваемом сечении равна сумме проекций на вертикальную ось «y» всех внешних сил, действующих на балку с одной стороны – слева (или справа) от сечения, например, Q = ∑слеваYi. Легче строить эпюру Qy, если идти слева, т.к. в этом случае, куда направлена внешняя сила, такой знак будет у поперечной силы. Знак поперечной силы определяется с помощью схемы на рисунке следующим образом: если эпюра Q строится слева, то куда направлена внешняя сила, туда откладывается и поперечная сила. Если эпюра Q строится справа, то наоборот: внешняя сила, направленная вниз, создает положительную поперечную силу, а направленная вверх – отрицательную.

Для построения эпюры разбиваем балку на 3 участка. От начала каждого участка будем отсчитывать координату xi. Для поперечной силы Qy первый и второй участки можно объединить, т.к. на границе между ними находится сосредоточенный момент М (т.е. внешняя пара сил с моментом М). При проектировании пары сил на ось «y» (вообще на любую ось) получается нуль, т.к. силы в паре равны по величине, параллельны и направлены в противоположные стороны. Поэтому их проекции на ось равны по величине, направлены в разные стороны и в сумме дают 0.

Поэтому 0 ≤ x₁ ≤ (a + b). Слева от поперечного сечения на расстоянии x₁ от опоры А находится реакция R_A, поэтому Qy = + R_A = 0,706 кН от опоры А до конца второго участка, как показано на эпюре.

На третьем участке (при 0 ≤ x₃ ≤ с) поперечная сила Qy = R_A + R_B – q* x₃. Эта сила является функцией x в первой степени, т.е. Qy = f(x). График – прямая. При x₃ = 0, Qy = R_A + R_B = 20 кН. При x₃ = с поперечная сила Qy = R_A + R_B – q* c = 20 – 36 = – 16 кН. Сила P = 16 кН замыкает эпюру. График Qy = f(x) пересекает нулевую линию в точке, которая находится на расстоянии x₀ = 0.8 м от правого конца. Для нахождения этой координаты легче составить уравнение для Qy справа (с учётом правила знаков для Q): Qy = – P + q*x = 0. Тогда при x = x₀ = P/q = 16/20 = 0,8 м. Эта координата потребуется для нахождения максимума эпюры Mz.

3. Построение эпюры изгибающих моментов (см. рис. 6)

Правило знаков   для изгибающего момента ` +         Mz         ` -

Правило: изгибающий момент в рассматриваемом сечении равен сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку с одной стороны – слева (или справа) от этого сечения, например, Mz = ∑слеваMzi. Правило знаков для изгибающего момента (см. схему): эпюра изгибающих моментов строится на сжатом волокне балки, т.е. если балка от внешних сил изгибается вогнутостью вверх, то изгибающий момент положителен, если вниз – отрицательный.

При 0 ≤ x₁ ≤ a изгибающий момент относительно оси «z» Mz₁ = = R_A *x₁. Знак момента положительный, т.к. сила R_A изгибает балку вогнутостью вверх (сжатые волокна вверху). График – прямая линия. При x₁ = 0 изгибающий момент Mz₁ = 0. При x₁ = а изгибающий момент Mz₁ = R_A *a = 1,412 кН*м. Это видно на эпюре.

При 0 ≤ x₂ ≤ b изгибающий момент относительно оси «z» равен Mz₂ = = R_A *(a + x₂) – M.

При x₂ = 0 изгибающий момент Mz₂ = R_A *a – M = – 4,588 кН*м.

При x₂ = b изгибающий момент Mz₂ = R_A *(a + b) – M = – 3,4 кН*м.

При 0 ≤ x₃ ≤ с изгибающий момент относительно оси «z»

Mz₃ = R_A *(a + b + x₃) – M + R_B * x₃ – q*(x₃)²/2. В этом выражении координата x₃ находится во второй степени, следовательно, графиком Mz₃ будет квадратная парабола.

Для построения графика на третьем участке, т.е. параболы, следует учитывать дифференциальную зависимость между поперечной силой и изгибающим моментом. Поперечная сила является первой производной изгибающего момента по длине балки, то есть Qy = dMz/dx. В точке О (рис. 6) первая производная равна Qy = 0, следовательно, функция Mz₃ в этой точке будет иметь экстремум (т.е. либо максимум, либо минимум). Чтобы определить, какой будет Mz₃ в этой точке, следует проанализировать, как изменяется поперечная сила на этом участке. Слева от точки О поперечная сила (т.е. первая производная) положительная. Следовательно, функция (т.е. Mz₃) будет возрастать. За точкой О поперечная сила отрицательная, следовательно, Mz₃ будет убывать. Значит в точке О (как установлено выше при Qy = 0) изгибающий момент Mz₃ будет иметь максимум.

Определим на третьем участке функцию изгибающего момента, если идти справа: Mz = ∑_справаMz_i, т.е. Mz = R_B*x – q*x²/2. Подставив x = x₀ = 0,8 м, получим Mz_max = 6.4 кН*м.

Таким образом, судя по эпюре на рис. 6, наибольшее значение изгибающего момента балки, а, следовательно, и опасное сечение находятся в точке О. По этому значению (Mz_max = 6.4 кН*м) следует производить расчёт на прочность.

4. Расчёт на прочность по допускаемым напряжениям

Для опасных сечений балок выполняется расчёт на прочность путём сравнения действующих в них максимальных напряжений σ_max (по модулю) с допускаемыми напряжениями для материала балки [σ].

Условие прочности имеет вид:

σ_max=Mz_max/Wz ≤ [σ].

В этой формуле Wz – осевой момент сопротивления, который является геометрической характеристикой поперечного сечения балки, и значения которого определяют размеры этого сечения.

Для определения значения осевого момента сопротивления преобразуем это неравенство:

Wz ≥ Mz_max/[σ].

После подстановки числовых значений и преобразования размерности изгибающего момента кН*м=10⁶*Н*мм (т.к. в знаменателе МПа = Н/мм²), получим:

Wz ≥ 6.4*10⁶/160 = 40000 мм³ = 40 см³.