Понятие о софизмах и логических парадоксах

Непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышле­нии, называется паралогизмом. Преднамеренная ошибка (как уже не раз отмечалось), совершаемая с целью запутать противника и выдать ложное суждение за истинное, называется софизмом. Философские софизмы В. И. Ленин сравнивал с математичес­кими софизмами. Он писал, что они похожи, «как две капли воды, на те рассуждения, которые математики называют матема­тическими софизмами и в которых — строго логичным, на пер­вый взгляд, путем — доказывается, что дважды два пять, что часть больше целого и т. д.»⁸.

Математические софизмы собраны в целом ряде книг⁹. Так, Ф. Ф. Нагибин формулирует следующие математические софиз­мы: 1) «5 = 6»; 2) «2 2=5»; 3) «2=3»; 4) «Все числа равны между собой»; 5) «Любое число равно половине его»; 6) «Отрицатель­ное число равно положительному»; 7) «Любое число равно ну­лю»; 8) «Из точки на прямую можно опустить два перпендикуля­ра»; 9) «Прямой угол равен тупому»; 10) «Всякая окружность имеет два центра»; 11) «Длины всех окружностей равны» и мно­гие другие. Например, 2 х 2=5. Требуется найти ошибку в следу­ющих рассуждениях. Имеем числовое тождество: 4:4=5:5. Выне­сем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4 (1:1) = 5 (1:1). Числа в скобках равны. Поэтому 4 = 5, или 2 х 2=5.

5=1. Желая доказать, что 5=1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Получим числа 2 и — 2. При возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка?¹⁰

Понятие о логических парадоксах

Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказыва­ющее как это суждение, так и его отрицание. Парадоксы были известны еще в древности. Примерами парадоксов являются: «куча», «лысый», «каталог всех нормальных каталогов», «мэр города», «генерал и брадобрей» и др.

Парадокс «куча». Разница между кучей и не кучей — не в одной песчинке. Пусть у нас есть куча (например, песка). Начинаем от нее брать каждый раз по одной песчинке, и куча остается кучей. Продолжаем этот процесс. Если 100 песчинок — куча, то 99 — тоже куча и т. д. 10 песчинок — куча, 9 — куча,..., 3 песчинки — куча, 2 песчинки — куча, 1 песчинка — куча. Итак, суть парадокса в том, что постепенные количественные изменения (убавление на 1 песчинку) не приводят к качественным изменениям.

Парадокс «лысый» аналогичен парадоксу «куча», т. е. разница между лысым и не лысым не в одной волосинке.