2015-03-07
492
Для существования определенного интеграла необходимо, чтобы промежуток интегрирования был конечен и подынтегральная функция ограничена. Когда не выполняется одно или оба эти условия, приходят к понятию несобственного интеграла.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция f (x) определена и непрерывна для всех х удовлетворяющих условию а £ х <+¥.
Рассмотрим интеграл 
, который имеет смысл при всех b > a. При изменении величины b этот интеграл будет вести себя как непрерывная функция от b. Если при бесконечном возрастании величины b существует конечный предел 
, то он называется несобственныминтегралом от функции f(x) с бесконечным верхним пределом. Таким образом, по определению
(6.1)
Если предел в (6.1) бесконечен или не существует, то говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.
Аналогичным образом определяются несобственные интегралы с бесконечным нижним пределом
(6.2)
и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами
|
|
|
Из определений несобственных интегралов непосредственно следует схема их вычисления: вначале находится первообразная F (x) для подынтегральной функции f(x), затем рассматривается разность пределов первообразных в точках верхнего и нижнего пределов интегрирования, т.е.
(6.3)
Пример. Установить, при каких значениях р сходится и при каких расходится интеграл 
