Глава 2. Частные производные

Частной производной от функции двух переменных f (x, y) по переменной х при y = y ₀ называется предел, при Δ х стремящемся к нулю, отношения частного по х приращения функци к вызвавшему его приращению аргумента Δ х (если этот предел существует и конечен). Так как y₀ любое фиксированное число из области допустимых значений, то его можно заменить на просто у. Тогда

Частная производная от функции f (x, y) по переменной y определяется и обозначается аналогичным образом

То есть, при вычислении частной производной от функции двух переменных f (x, y) по х второй аргумент y выступает как величина постоянная. Если же вычисляется частная производная по y, то х принимается постоянной величиной.

Пример 1. Вычислить частные производные z_x¢ и z_y¢ от функции

f (x, y) = x ³ y ² + sin x - 4 y.

Решение. В соответствии с определением, имеем

f _x¢(x, y) = 3 x ² y ² + cos x и f _y¢(x, y) = 2 x ³ y - 4.

Частная производная от f (x, y) тоже является функцией двух переменных и от нее вновь можно вычислять частные производные и так далее.

Функция двух переменных имеет следующие вторые производные:

- вторая производная от f (x, y) по х дважды

- вторая производная от f (x, y) по y дважды

- вторая смешанная производная от f (x, y) по x и по y

- вторая смешанная производная от f (x, y) по y и по х.

для функций, имеющих непрерывные частные производные второго порядка, смешанные производные второго порядка совпадают

Пример 2 ( продолжение примера 1). Вычислить вторые производные для функции

f (x, y) = x ³ y ² + sin x - 4 y.

Решение. Применяя правила дифференцирования, получим

z _xx¢¢ = (3 x ² y ² + cos x)_х’ = 6 xy ² - sin x,

z_yy ¢¢ = (2 x ³ y – 4)_y’ = 2 x ³,

z_xy ¢¢ = (3 x ² y ² + cos x)_y’ = 6 x ² y = z_yx ¢¢.

Теперь не представляет труда решение задачи о вычислении производных любого порядка.

Пример 3. Вычислить четвертую производную, причем одну по х и три по y для функции

f (x, y) = 2 x ⁴ ּ ln y - cos(x + y ³) + x ³

В соответствии и правилами дифференцирования сложных функций и функций многих переменных имеем:

Производные от функций большего числа производных вычисляются по тем же правилам.

Пример 4. Пусть дана функция четырех переменных f(x,y,z,t)

f(x, y, z, t) = xz ³ t ² + yz ² cos(y ³ - t).

Решение. Вычислим вторую смешанную производную по аргументам z и t