Знакочередующимися рядами называются ряды вида
u1 - u2 + u3 - u4 +......, (2.1)
где все un > 0.
Сходимость таких рядов исследуется по теореме Лейбница: если в знакочередующемся ряде u1 - u2 + u3 - u4 +......, un > 0 все члены таковы, что u1 > u2 > u3 >u4 .... и , то ряд (19) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда u1.
Доказательство. Возьмем сумму четного числа первых членов S 2m, которая положительна.
S2m = (u1 - u2 ) + (u3 - u4 ) +......+ (u2m-1 – u2m) > 0,
так как выражение в каждой скобке больше нуля.
S2m возрастает при росте m, т.к. S2m = S2(m-1) + (u2m-1 – u2m) > S2(m-1).
С другой стороны
S2m = u1 - (u2 - u3 ) - (u4 – u5)......- (u2m-2 - u2m-1) – u2m < u1.
т. е. при росте m S2m возрастает и ограничена сверху. Следовательно, имеет предел S= = .
Нечетные суммы будут иметь тот же предел S2m+1 = S2m + u2m+1
+ = S + 0 = S.
.Четные и нечетные суммы ряда имеют тот же предел, следовательно, ряд сходится. Теорема доказана.
По знакочередующемуся ряду можно построить соответствующий ему положительный ряд u1 + u2 + u3 + u4 + un +.... Если такой положительный ряд сходится, то знакочередующийся ряд называют абсолютно сходящимся, в противном случае ряд называют условно сходящимся. В абсолютно сходящемся ряде члены ряда можно переставлять без потери сходимости, в условно сходящемся ряде перестановка членов ряда запрещена, т.к. она может привести к потере сходимости.
|
|