Построение имитационной модели управления запасами

На этом примере мы увидим, чем отличается оптимизационная модель исследования операций (рассмотренная ранее) от имитационной модели. В первую очередь имитационная модель позволяет нам моделировать случайные величины и события.

Очень важна постановка задачи. Не корректно сформулированные начальные условия могут привести к совершенно противоположным результатам.

Содержательное описание объекта моделирования

Имеется склад какой либо продукции, например, мешков цемента. Объем ежедневной продажи цемента (ежедневный спрос) является случайной величиной. При снижении запаса мешков до определенного уровня подается заказ на пополнение склада на фиксированную величину. Время выполнения этого заказа так же является случайной величиной. Известна стоимость подачи заказа (издержки на доставку), стоимость хранения одной единицы продукции. Известны потери от каждой упущенной продажи, если появился дефицит цемента (спрос больше дневного запаса). Будем считать, что все заказы подаются и начинают выполняться в начале рабочего дня. На период выполнения заказа все повторные заказы не производятся.

Необходимо построить модель работы склада в течение 10 дней и оценить его дневные издержки. Определить параметры управления запасами с целью минимизации издержек.

Формализованное описание объекта моделирования.

Исходные данные (и конкретные значения для контрольного примера):

· Q_i - запас на начало i – го дня (начальный запас - 10 единиц).

· Y_i - запас на конец i – го дня (остаток).

· U – уровень подачи заказа (при наличии на складе не более 5 единиц подается заказ на пополнение склада).

· X_i – дефицит продукции (нехватка продукции для обеспечения дневного спроса).

· С_s - стоимость подачи заказов (10 рублей/заказ).

· С_h - стоимость хранения (5 рублей/единицу в день).

· С_b – потери на одну упущенную продажу (80 рублей).

· q - объем заказа (начальный уровень 10 единиц).

· D_i - ежедневный спрос (дискретная случайная величина). Имеются результаты наблюдения (статистические данные) величины ежедневного спроса D в течение одного года (300 рабочих дней). Эти результаты представлены во втором столбце таблицы в виде частоты появления события f₁.

· I – решение об организации заказа (да – 1, нет – 0).

· t - время выполнения заказа (случайная величина). Результаты наблюдения этого времени (статистические данные) в течение года (50 заказов) приведены во второй таблице.

· N – общее число заказов за Т дней (Ni – заказ в i-ый день равен 0 или1).

· Т – количество дней работы склада – 10 дней.

· Z – издержки работы склада за один день.

Целевая функция:

, где Z₁ - издержки на пополнение склада, Z₂ - затраты на хранение, Z₃- стоимость упущенных продаж.

Z₁= С_s Ni/Т Z₂= С_hS Y_i/Т Z₃=S X_i/Т

Будем строить модель десяти дней работы склада и проведем оценку его издержек за один день Z.

По каждому случайному событию формируется отдельная таблица.

По частотам вычисляются вероятности появления событий, по вероятностям – кумулятивные вероятности. Зная кумулятивные вероятности, устанавливается соответствие между случайными числами и значениями случайной величины.

Таблица 17

Спрос в день Di	Частота f1	Вероятность P(D)	Интегральная вероятность	Диапазон случайных чисел R1
		0,05	0,05	0,00—0,049
		0,10	0,15	0,05—0,149
		0,20	0,35	0,15—0,349
		0,40	0,75	0,35—0,749
		0,15	0,90	0,75—0,899
		0.10	1.00	0,90-0,999
Сумма

Таблица 18

Время выполнения заказа, дни t	Частотаf2	Вероятность P(t)	Интегральная вероятность	Диапазон случайных чисел R2
		0,2	0,2	0—0,19
		0,5	0,7	0,2—0,69
		0,3	1,0	0,7—0,99
Сумма

Математическая модель.

Построение математической модели, одной частной реализации, будем осуществлять в виде таблицы (Таблица 19).

Таблица 19

День i	Qi	Ri	Спрос Di	Запас на конец дня Yi	Повторный заказ да/нет I	Ri	Время выпол­нения t	Дефицит Xi
		0,06
		0,63
		0,57
		0,94			Да (1)
		0,52			Выполн.
		0,69
		0,32			Да (1)	0,2
		0,30
		0,48			Выполн.
		0,88
Сумма

Начальный запас Q₁=10 единиц. С использованием датчика случайных чисел выбираем случайное число для спроса в 1-й день R₁= 0,06, что соответствует по таблице спро­су D₁=1. Поэтому запас на конец 1-го дня равен Y₁=Q₁ - D₁= 9. Это число и запишем в запас на начало 2-го дня Q₂=9.

Случайное число для спроса D₂ во 2-й день R₁= 0,63, что соот­ветствует по таблице спросу D₂=3. Поэтому запас на конец 2-го дня равен Y₂=Q₂ – D₂= 6. Это число и запишем в запас на начало 3-го дня Q₃=6. и т.д.

Запас на начало 4-го дня Q₄ < U (3 < 5). Поэтому подаем за­каз на пополнение склада – I=1 (да). Здесь необходимо смоделировать второе случайное событие, каково время исполнения заказа? Выбираем случайное число R₂=0, что соответствует по табли­це времени выполнения заказа t=1 день, то есть заказ вы­полняется весь 4-й день, и в начале 5-го дня мы получим q=10 единиц. Спрос в 4-й день был D₄=5 единиц, а начальный запас Q₄= 3. Поэтому упущенные продажи запишем в столбец «Дефицит» X₄= D₄- Q₄ =2.

Запас на начало 7-го дня Q₇ < U (4 < 5). Поэтому подаем за­каз на пополнение склада - I=1 (да). Выбираем случайное число R₂=2, что соответствует по табли­це времени выполнения заказа t=2 дня, то есть заказ выпол­няется в течение 7-го и 8-го дней, и в начале 9-го дня мы получим Q₉ =10 единиц. В начале 8-го дня мы не принимаем решения на подачу заявки на пополнение склада, так как не выполнена была предыдущая заявка. И т.д.

Исследование модели.

Вычисляем среднее число заказов (общее число заказов/общее число дней) N_ср=∑N_i/Т=2/10 = 0,2 заказа/день.

Вычисляем средний запас товара на складе на 1 днь Y_ср=∑Y_i/ Т = 41/10 = 4,1 единицы/день.

Вычисляем среднее число упущенных продаж в день X_ср= ∑X_i/Т (общее число упу­щенных продаж/общее число дней) = 2/10 = 0,2 прода­жи/день.

Общие издержки (средние в день) равны затратам на подачу заказов, плюс затраты на хранение, плюс штраф за дефицит.

Z₁= С_s ∙ N_ср, Z₂= С_h ∙ Y_ср, Z₃= С_b ∙ X_ср

Z= С_s ∙ N_ср + С_h ∙ Y_ср+ С_b ∙ X_ср =

=10∙0,2 + + 5∙4,1 + 80∙0,2 = 38,5 рублей/день.

Далее осуществляются реализации модели, составляем таблицу результатов:

Таблица 20

Реализация
Общие издержки (руб./день)	38,5

По данным реализаций вычисляем (вероятностные характеристики) математическое ожидание величины издержек. Если эта случайная величина равномерно распределена (а мы именно такое распределение приняли для случайного события), то математическое ожидание издержек есть средняя величина результатов реализации. М(Z) =(Z_min +Z_max)/2.

Изменяя уровень и объем заказа, и повторяя процедуру реализации модели мы можем оптимизировать издержки.

На этом примере видно, что для успешной разработки имитационной модели какого либо процесса необходимо весь процесс разделить на отдельные операции и обозначить связи между ними. Особенно это важно для сложных процессов и систем, таких, как, например, управление производством. Для такого формализованного описания процессов служит формализованный язык построения процессных схем.