2015-03-08
629
2.3.1. Найти линейную комбинацию векторов:
а) a 1= 
, a 2= 
, a 3= 
, a 4= 
, a 5= 
;
б) a 1=(1, 1, 1), a 2=(0, 1, 1), a 3=(0, 0, 1);
в) a 1=(1, 2, -1), a 2=(3, -1, 2), a 3=(4, -1, 2).
2.3.2. Найти линейную зависимость между векторами:
а) a 1=(1, 1, 1), a 2=(0, 1, 1), a 3=(0, 0, 1), a 4=(3, 6, 9);
б) a 1=(1, 2, -1), a 2=(3, -1, 2), a 3=(4, -1, 2), a 4=(4, 2, 3);
в) a 1=(1, 0, 1), a 2=(0, 1, 1), a 3=(1, 1, 0), a 4=(-1, 2, 1).
Решение. а) Составим равенство a 1 a 1+ a 2 a 2+ a 3 a 3+ a 4 a 4=0 V и подвергнем его равносильным преобразованиям:
a 1 a 1+ a 2 a 2+ a 3 a 3+ a 4 a 4=0 V Û
Û a 1(1, 1, 1)+ a 2(0, 1, 1)+ a 3(0, 0, 1)+ a 4(3, 6, 9)=(0, 0, 0) Û
Û (a 1, a 1, a 1)+(0, a 2, a 2)+(0, 0, a 3)+(3 a 4, 6 a 4, 9 a 4)=(0, 0, 0) Û
Û (a 1+3 a 4, a 1+ a 2+6 a 4, a 1+ a 2+ a 3+9 a 4)=(0, 0, 0) Û
Û 
Û 
(последнюю систему получили вычитанием из второго уравнения первого, и из третьего - второго). Таким образом, a 1=-3 a 4, a 2=-3 a 4, a 3=-3 a 4, и если положить a 4=1, то a 1= a 2= a 3=-3, и -3 a 1-3 a 2-3 a 3+ a 4=0 V - искомая линейная комбинация.
Ответ: а) -3 a 1-3 a 2-3 a 3+ a 4=0 V.
Базис пространства.
