2.1.1. Теорема. Множество векторов на плоскости (в пространстве) образует линейное пространство.
Это вытекает из определения суммы векторов и произведения вектора на число, и из свойств этих операций. А именно, Теорема 1.2.2 даёт свойства 1о - 4о определения линейного пространства, а Теорема 1.3.2 - свойства 5о - 8о определения. Причём можно рассматривать (как линейное пространство) отдельно векторы на плоскости и отдельно в пространстве.
Из теоремы 2.1.1 вытекает, что для векторов (как на плоскости, так и в пространстве) выполнены все свойства линейного пространства (рассмотренные в главе I). Перечислим некоторые из них применительно к векторам:
1. Нулевой нулевой вектор единствен.
2. Для любого вектора его противоположный вектор - единствен.
3. Сумма вида (...(( + )+ )+...)+ не зависит от расстановки скобок. Поэтому скобки принято опускать: + +...+ .
4. Для любого вектора
-(- )= .
5. Для любых векторов , уравнения x + = и + x = имеют единственное решение x = +(- ). Это решение - разность векторов и : x = - .
|
|
Правило построения разности векторов и вытекает из рис.2.1:
Для построения вектора - достаточно отложить векторы и из одной точки. Тогда вектор - - вектор, начало которого совпадает с концом вектора , а конец - с концом вектора .
6. Для любых векторов , ,...,
-( + +...+ )=- - -...- .
7. Для любого вектора имеет место равенство 0 = .
8. Для любого числа a имеет место равенство a = .
9. Если a = , то либо a =0, либо = .
10. Для любого вектора и любого числа a имеет место равенство (- a) = -(a ), в частности, (-1) = - .
11. Для любых чисел a, a 1, a 2, …, ak и любых векторов , , ,..., имеют место равенства
(± a 1± a 2±…± ak) =± a 1 ± a 2 ±…± ak
и
a (± ± ±…± )=± a ± a ±…± a .
Также, на множество векторов (как на плоскости, так и в пространстве) переносятся все понятия линейного пространства (например, линейная комбинация векторов, линейная зависимость (независимость) векторов и их свойства, базис и.т.д.).
2.1.2. Теорема. На плоскости максимальное число линейно независимых векторов равно 2, в пространстве - 3. Любые k векторов, k >3 на плоскости и k >4 в пространстве, линейно независимы.
2.1.3. Теорема. На плоскости базис образует любая пара неколлинеарных векторов. В пространстве базис образует любая тройка некомпланарных векторов.
Таким образом, размерность линейного пространства геометрических векторов на плоскости равна 2, в пространстве - 3. Это означает, что в любом базисе на плоскости вектор имеет две координаты: =(ax, ay). В пространстве в любом базисе вектор имеет 3 координаты: =(ax, ay, az). При этом, напоминаем:
2.1.4. Теорема. Если =(ax, ay), =(bx, by), a - произвольное число, то + =(ax + bx, ay + by) и a =(aax, aay). В частности, - =(ax - bx, ay - by)
|
|
Аналогичное свойство справедливо для векторов в пространстве.
Кроме того
2.1.5. Теорема. Два вектора и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны, что равносильно пропорциональности их координат:
= a Û = (= a) - на плоскости
= a Û = = (= a) - в пространстве
Три вектора , и линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны, что равносильно
=0.