11. Найти истинностное значение следующих высказываний
а) + Москва – столица России, а Рим – столица Греции.
б) Москва – столица России, или Рим – столица Дании.
в) Если 11 делится на 3, то 11 делится на 6.
г) Если 15 делится на 3, то 15 делится на 6.
д) 11 делится на 3 тогда и только тогда, когда 15 делится на 6.
е) Если Майк Тайсон негр, то все негры.
ж) Если Петр I – негр, то все негры.
Поясним теперь, о каком недостатке шла речь выше, когда было сказано, что некоторые предложения вида Если А, то В, А только если В, А необходимое/достаточное условие для В будут истинными с точки зрения построенной логической системы, но их будет трудно назвать истинными с точки зрения здравого смысла.
Рассмотрим предложение
(*) Если население Москвы больше миллиона, то в Африке обитают бегемоты.
Население Москвы больше миллиона – истина.
В Африке обитают бегемоты – истина.
По определению импликации, если и А, и В истинны, предложению структуры А É В приписывается значение «истинно», значит высказывание (*) – истинно. Далее, А É В можно прочесть как (1) В есть необходимое условие для А, т.е. наличие бегемотов в Африке является необходимым условием для того, чтобы население в Москве было больше миллиона, а также как (2) А есть достаточное условие для В, т.е. тот факт, что в Москве живет такое-то число людей, гарантирует, что в Африке мы найдем гиппопотамов. Этот пример (вы понимаете, что можно привести сколько угодно аналогичных) показывает, что введенная связка не вполне соответствует тому, что мы подразумеваем, говоря если – то, необходимое условие, достаточное условие и т.д. Такие «издержки» связаны с тем, что когда в логике высказываний мы переходим от структуры предложений к конкретным предложениям, никаких ограничений на подставляемые предложения не вводится и вместо А и В в А & В, А É В, А Ú В и т.д. можно в принципе подставлять любые предложения. (Можно ввести ограничение: пусть А и В будут связаны по содержанию, но это сложнейшая задача – смоделировать содержательную связь между высказываниями, оперируя только их структурной информацией.) Затем, классическая логика при определении смысла условной связи исходит из требования- минимума: блокируется только случай, когда из истины следует ложь. Ситуации, когда интуитивно предложение с условной связью ложно, а в нашей теории оно истинно, мы не получим. Наконец заметим, что всякая теория моделирует объект исследования и не может отобразить все свойства: с какими-то свойствами работаем, что-то (важное для решения тех или иных задач) принимаем в расчет, от чего-то абстрагируемся.
12. Найдите значение формулы (Øр É q) & (Øq É Ør) при следующих оценках:
а) + ϕ1(р) = И, ϕ1(q) = И, ϕ1(r) = Л;
ϕ1((Øр É q) & (Øq É Ør)) = …
б) ϕ2(р) = Л, ϕ2(q) = Л, ϕ2(r) = Л;
ϕ2((Øр É q) & (Øq É Ør)) = …
Можно ли на основании значений данной конъюнктивной формулы при ϕ1 и ϕ2 сделать вывод о её логическом статусе (см. ниже о логическом статусе формул)?
Определения, пояснения и примеры