Для функции f(t), дифференцируемой на интервале времени от 0 до ∞ и ограниченной по модулю (|f(t)|≤Me-ct), изображением по Лапласу является функция F(s) полученная как:
где M, c – конечное значение, s - комплексная переменная Лапласа s=σ+jω
1. Преобразование Лапласа является линейной операцией.
Преобразование Лапласа от суммы оригиналов равно сумме изображений.
L{Cf(t)}=CF(s), С=const.
2. Обратное преобразование.
,
,
т.е функция f(t) лежит в положительной области времени.
4. , ,
L{f(n) (t)}=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f`-…..-fn-1(0)
5.
6. Правило предельного перехода.
7.
-интеграл свертки.
Верхний предел может быть равен ∞, нижний -∞, т.к функции f1 и f2 для отрицательного аргумента должны быть равны нулю.
8. Смещение оригинала, т.е.
L{f(t-τ)}=F(s)e-sτ
9. Теорема о разложении, или теорема о вычетах:
если дробно-рациональная функция, причем, m<n, то
где, j- количество различных корней; nk-число повторений к-го корня;
sk- корни уравнения An(s)=0.