Функция называется выпуклой вниз (выпуклой вверх) на промежутке , если для любых значений выполняется неравенство .
Теорема (достаточное условие выпуклости функции). Если функция имеет на интервале вторую производную , то график функции имеет на выпуклость направленную вниз (вверх).
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.
Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, т.е. .
Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.
Алгоритм нахождения выпуклостей функции и точек перегиба:
1. Находим вторую производную .
2. Находим точки, в которых или не существует.
3. Исследуем знак слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и о наличии точек перегиба.
|
|
4. Находим значение функции в точках перегиба.
Пример. Найти точки перегиба графика функции .