Пример 1.1. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопротивлением R= 3Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U 0 = 2В до U = 4В в течение t= 20с.
Решение. Так как сила тока в проводе изменяется, то воспользоваться для подсчета заряда формулой Q=It нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда d Q=I d t и проинтегрируем:
(1)
Выразив силу тока по закону Ома, получим
(2)
Напряжение U в данном случае переменное. В силу равномерности нарастания оно может быть выражено формулой
U= U 0 +kt, (3)
где k - коэффициент пропорциональности. Подставив это выражение U в формулу (2), найдем
Проинтегрировав, получим
(4)
Значение коэффициента пропорциональности k найдем из формулы (3), если заметим, что при t= 20 с U= 4В:
k= (U-U 0) /t= 0,1B/c.
Подставив значения величин вформулу (4), найдем
Q= 20Кл.
Пример 1.2. Потенциометр с сопротивлением R = 100Ом подключен к источнику тока, ЭДС ε которого равна 150 В и внутреннее сопротивление r = 50 Ом (рис. 1.1). Определить показание вольтметра с сопротивлением R B = 500Ом, соединенного проводником с одной из клемм потенциометра и подвижным контактом с серединой обмотки потенциометра. Какова разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключенном вольтметре?
Решение. Показание U 1 вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 19.1), определяется по формуле
U 1 =I 1 R 1, (1)
где I 1 - сила тока в неразветвленной, части цепи; R 1- сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра.
Силу тока I 1 найдем по закону Ома для всей цепи:
I 1 = ε/(R+r), (2)
где R - сопротивление внешней цепи.
Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений:
R=R/2+R1. (3)
Сопротивление R 1параллельного соединения может быть найдено по формуле откуда
R l= RR B /(R + 2 R B).
Подставив в эту формулу числовые значения величин, и произведя вычисления, найдем
R l=45,5Ом.
Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), определим силу тока:
=1,03 А
Если подставить значения I 1 и R 1в формулу (1), то найдем показание вольтметра: U 1 = 46,9В.
Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I 2 на половину сопротивления потенциометра, т. е. U 2 =I 2 (R/ 2), или
Подставив сюда значения величин ε, r и R получим
U 2 = 50В.
Пример 1.3. Сила тока в проводнике сопротивлением R= 20 Ом нарастает в течение времени Δt=2 с по линейному за. кону от I 0=0 до I max=6 А (рис. 1.2). Определить количество теплоты Q 1, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q 2 - за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты Q 2/ Q 1.
Решение. Закон Джоуля - Ленца Q= I 2 Rt применим в случае постоянного тока (I =const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде
d Q= I 2 R d t. (1)
Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В нашем случае
I=kt, (2)
где k - коэффициент пропорциональности, равный отношению приращений силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение:
k= Δ I/ Δ t.
С учетом равенства (2) формула (1) примет вид
d Q=k 2 Rt 2d t. (3)
Для определения количества теплоты, выделившегося за конечный промежуток времени Δ t, выражение (3) следует проинтегрировать в пределах от t 1до t 2:
При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования t 1=0, t 2 = 1 с и, следовательно,
Q 1=60 Дж,
а за вторую секунду - пределы интегрирования t 1= 1 с, t 2 =2 с и тогда
Q2=420 Дж.
Следовательно,
Q 2/ Q 1 =7,
т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду.
Задача 1.1
Вариант | R | U0 | U | t |
3,95 | 2,17 | 4,93 | 20,37 | |
3,42 | 2,02 | 4,9 | 20,9 | |
3,12 | 2,35 | 4,27 | 20,75 | |
3,48 | 2,61 | 4,87 | 20,44 | |
3,5 | 2,86 | 4,87 | 20,18 | |
3,83 | 2,94 | 4,61 | 20,29 | |
3,54 | 2,94 | 4,11 | 20,58 | |
3,18 | 2,77 | 4,71 | 20,66 | |
3,74 | 2,21 | 4,18 | 20,35 | |
3,82 | 2,27 | 4,45 | 20,25 | |
3,95 | 2,74 | 4,65 | 20,81 | |
3,16 | 2,37 | 4,84 | 20,98 | |
3,17 | 2,08 | 4,35 | 20,57 | |
3,04 | 2,96 | 4,01 | 20,75 | |
3,98 | 2,3 | 4,01 | 20,17 | |
3,66 | 2,2 | 4,19 | 20,54 | |
3,21 | 2,11 | 4,62 | 20,14 | |
3,17 | 2,16 | 4,05 | 20,7 | |
3,01 | 2,17 | 4,31 | 20,74 | |
3,81 | 4,78 | 20,94 | ||
3,7 | 2,71 | 4,71 | 20,62 | |
3,1 | 4,5 | 20,35 | ||
3,72 | 2,29 | 4,99 | 20,31 | |
3,51 | 2,38 | 4,57 | 20,09 | |
3,84 | 2,55 | 4,97 | 20,27 | |
3,81 | 2,21 | 4,17 | 20,24 | |
3,97 | 2,9 | 4,6 | 20,85 | |
3,32 | 2,97 | 4,75 | 20,82 | |
3,14 | 2,65 | 4,87 | 20,46 | |
3,82 | 2,07 | 4,07 | 20,54 |
Задача 1.2
Вариант | R | ЭДС | r | Rв |
100,89 | 151,67 | 51,33 | 502,63 | |
102,63 | 156,31 | 52,09 | 506,22 | |
103,72 | 156,72 | 52,76 | 507,68 | |
102,29 | 51,01 | 504,33 | ||
103,91 | 157,59 | 51,53 | 509,07 | |
101,49 | 157,12 | 51,55 | 501,46 | |
101,32 | 153,12 | 52,42 | 500,09 | |
100,22 | 153,46 | 52,34 | 508,94 | |
103,69 | 157,13 | 50,7 | 501,45 | |
103,32 | 152,87 | 52,89 | 501,79 | |
154,8 | 51,99 | 509,54 | ||
104,43 | 150,54 | 51,15 | 502,24 | |
102,83 | 154,71 | 51,19 | 505,53 | |
103,36 | 155,36 | 51,63 | 508,84 | |
104,2 | 153,5 | 50,61 | 501,68 | |
103,7 | 158,93 | 52,06 | 507,12 | |
103,82 | 157,73 | 52,49 | 506,63 | |
103,72 | 154,8 | 51,91 | 505,51 | |
102,42 | 156,15 | 52,59 | 502,95 | |
100,44 | 157,66 | 51,84 | 509,4 | |
103,03 | 153,75 | 52,74 | 501,93 | |
103,12 | 150,94 | 51,72 | 502,74 | |
100,82 | 154,36 | 51,57 | 509,71 | |
102,27 | 156,11 | 50,92 | 506,27 | |
100,42 | 159,08 | 52,29 | 501,71 | |
101,49 | 150,41 | 52,57 | 503,74 | |
101,45 | 150,93 | 51,92 | 502,98 | |
100,8 | 159,35 | 52,53 | 508,3 | |
102,79 | 158,38 | 50,45 | 505,45 | |
104,23 | 152,91 | 52,53 | 503,64 |
Задача 1.3
Вариант | R | t | Io | Imax |
22,05 | 3,73 | 2,91 | 8,26 | |
23,19 | 3,41 | 2,45 | 13,48 | |
23,62 | 2,19 | 2,01 | 6,38 | |
23,1 | 2,75 | 2,62 | 10,83 | |
22,49 | 2,33 | 2,6 | 6,43 | |
24,6 | 3,86 | 1,8 | 13,37 | |
22,54 | 2,29 | 1,66 | 7,81 | |
22,36 | 2,71 | 2,96 | 12,2 | |
22,66 | 2,08 | 0,37 | 12,56 | |
21,36 | 2,89 | 1,25 | 6,17 | |
20,3 | 2,76 | 0,34 | 15,38 | |
20,26 | 3,03 | 1,48 | 11,71 | |
22,56 | 2,56 | 2,56 | 13,74 | |
22,97 | 2,52 | 0,26 | 11,4 | |
20,71 | 3,96 | 2,56 | 14,5 | |
20,77 | 2,56 | 0,9 | 12,74 | |
21,98 | 3,89 | 0,29 | 6,85 | |
20,05 | 3,6 | 1,59 | 15,53 | |
20,56 | 2,75 | 2,28 | 9,88 | |
20,12 | 2,18 | 0,59 | 7,15 | |
24,1 | 3,6 | 0,78 | 10,6 | |
22,44 | 2,46 | 1,66 | 10,96 | |
24,06 | 3,62 | 0,76 | 7,07 | |
20,57 | 3,78 | 2,82 | 10,4 | |
20,23 | 3,17 | 2,68 | 8,24 | |
23,57 | 3,22 | 0,02 | 9,52 | |
20,26 | 3,55 | 0,38 | 14,4 | |
23,64 | 3,18 | 2,91 | 11,7 | |
21,92 | 3,94 | 2,16 | 8,33 | |
20,36 | 2,4 | 2,67 | 13,03 |