Предположим теперь, что функция непрерывна на , за исключением точки , в которой она терпит разрыв второго рода, и рассмотрим три случая:
а) .
Возьмем произвольное, но достаточно малое (чтобы выполнялось неравенство ) положительное и положим, по определению, = Если указанный предел существует, то называется несобственным интегралом второго рода по промежутку .
б) .
Как и в предыдущем случае определим несобственный интеграл , положив:
= .
Отметим, что вся терминология, связанная с определением сходимости и расходимости несобственных интегралов второго рода полностью переносится с соответствующих определений, данных для интегралов первого рода.
в)
В этом случае полагаем:
= +
При этом будем считать, что последний несобственный интеграл сходится, если сходятся слагаемые, определяющие этот интеграл. Ясно, что,
= + .
Пример.
= = = =
=