Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на прямой или параллельный ей.
Составим уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор . Уравнение вида:
Называются параметрическими уравнениями прямой.
Каждое из последних уравнений разрешим относительно t:
Откуда
Данные уравнения называются каноническими уравнениями прямой.
Пусть даны две различные точки . В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор
Поскольку прямая проходит через точку
ее канонические уравнения в соответствии с каноническим уравнением запишутся так:
Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через две указанные точки.
Рассмотрим две прямые, заданные параметрическими уравнениями
первая из этих прямых проходит через точку , вторая через точку , прямые имеют соответственно направляющие векторы
Поскольку угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, то
Очевидно, условие перпендикулярности прямых выражается равенством
Необходимое и достаточное условие параллельности прямых выражается равенствами
Исследуем вопрос о взаимном расположении двух прямых в пространстве. Кроме векторов a и b рассмотрим еще вектор М М2 = (х2 - х1, у2 - у1,z - z ).
Очевидно, данные прямые являются скрещивающимися тогда и только тогда, когда векторы a b и М М2 некомпланарны, в этом случае их смешанное произведение отлично от нуля, т.е. [а, b ] М1М2 , или
Данные прямые лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы [а, b ], М1М2 компланарны, а в этом случае [а, b ] М1М2 =0, или