Нормированное пространство
Линейное пространство L называется нормированным, если любому его элементу x поставлено в соответствие число, называемое нормой и обозначаемое , причем при этом выполнены следующие условия:
Всякое нормированное пространство становится метрическим, если ввести в нем расстояние . Справедливость аксиом метрического пространства вытекает из свойств 1) – 3) нормы. На нормированные пространства переносятся, таким образом, все понятия и факты, которые были изложены для метрических пространств.
Примеры.
6.3.1. Множество вещественных чисел становится нормированным пространством, если положить .
6.3.2
Заметим, что в этом же пространстве можно ввести норму и по-другому, например, так
или .
(Аксиомы нормы 1)-3) выполняются).
6.3.3. В пространстве непрерывных функций на отрезке определим норму формулой
.
Соответствующее расстояние уже рассматривалось в разделе 6.1. "Метрическое пространство" в примере 6.1.3.
.
Полное нормированное пространство называется банаховым пространством.
|
|