Линии первого порядка. Прямые на плоскости

Пусть задана декартова система координат и некоторая прямая; α – угол наклона прямой к оси Ох.

Определение: Тангенс угла α наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом этой прямой: k = tgα.

= (1)

Формула (1) – определение углового коэффициента по известным двум точкам прямой.

Пусть прямая, неперпендикулярная оси Ох, имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Оу отрезок ОВ= b.

1). Пусть М(х,у) – точка с переменными координатами (переменная точка). Рассмотрим точку В(0, b). По формуле (1) угловой коэффициент равен

(2)

Преобразуем формулу (2) к виду

или

(3)

Если точка М не принадлежит данной прямой, то уравнение (3) не выполнится, следовательно, (3) - это уравнение прямой (по определению).

Уравнение (3) определяет прямую, имеющую угловой коэффициент k, и отсекающую на оси Oу отрезок b, и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

2). Пусть известна одна точка М ₁(х₁,у₁) и угловой коэффициент k:

По формуле (1), если М (х, у) – переменная точка,

(4)

или

(5)

Уравнение (5) – это уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М _{1 .}

3) Пусть известны точки М ₁ (х₁, у₁) и М ₂(х₂, у₂), принадлежащие прямой. Найти уравнение этой прямой.

По формуле (1) – . Отсюда, с учетом (5), получим

=

или, поделив обе части равенства на ,

. (6)

Уравнение (6) – это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.