Условия параллельности и перпендикулярности, углы

1. Пусть даны две прямые с направляющими векторами и :

угол между двумя прямыми

;

условие параллельности прямых в пространстве

;

условие перпендикулярности прямых в пространстве

.

2. Даны прямая и плоскость Ax+By+Cz+D=0:

угол между прямой и плоскостью

условие параллельности прямой и плоскости

Am+Bn+Cp=0

условие перпендикулярности прямой и плоскости

.

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(2;0;1) и прямую .

Решение. Используем уравнение плоскости, проходящей через точку

A(x-2)+By+C(z-1)=0.

Направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости перпендикулярны, следовательно,

A+2B-C=0.

Точка A(1;-1;-1) лежит на прямой, следовательно, и на плоскости

A(1-2)+B(-1)+C(-1-1)=0 или –A-B-2C=0.

Решая систему,

получим A=-5C; B=3C.

Тогда

(-5(x-2)+3y+(z-1))С=0 или 5x-3y-z-9=0.

[1] Угол получается при повороте прямой с к прямой с против часовой стрелки.