Часть 10. Элементы аналитической геометрии
Прямая линия
Уравнение вида F(x,y) = 0 называется уравнением линии L, если ему удовлетворяют координаты каждой точки этой линии и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на этой линии.
Теорема. 1. Всякая прямая линия в системе координат хоу имеет уравнение вида Ах+Ву+С = 0. 2. Всякое уравнение вида Ах+Ву+С = 0 является уравнением некоторой прямой в системе координат хоу.
Доказательство.
Пусть (a)- произвольная прямая в системе координат хоу. Выберем на ней точку М0 (x 0;y0) и возьмем любой ненулевой вектор (A;B), перпендикулярный прямой (а).
Вектор называется нормальным вектором прямой.
Очевидно, точка М(х;у) принадлежит прямой (а) тогда и только тогда, когда векторы и взаимно перпендикулярны.
Последнее утверждение равносильно равенству .
Но так как,
, ,
то
.
Следовательно,
Ах + Ву + С = 0, где С = -Ахо -Вуо.
Первая часть теоремы доказана.
Пусть
Ах + Ву + С = 0
-произвольное уравнение первой степени, и (х = хо, у = уо) - одно из его решений. Из уравнения
Ах + Ву + С = 0
вычтя тождество
Ахо + Вуо+С = 0,
получим равносильное уравнение
А(х-хо)+В(у-уо) = 0,
которое согласно первой части теоремы определяет прямую, проходящую через точку Мо (хо;y0) перпендикулярно вектору (A;B). Вторая часть теоремы доказана.