W(jω) = (U вых / U вх) ℮ jφ;
A(ω) = Uвых / Uвх ;
arg W(jω) = φ(ω). (15.16)
Для RC - цепи получим
W(jω) = = . (15.17)
A() = ; . (15.18)
Используя формулу Эйлера, удалось упростить отыскание частотных характеристик RC – цепи.
Однако решим задачу до конца: определим Uвых(t).
Для Uвх(t)= Uвх e имеем
U вых . (15.19)
Для U вх (t)=U вх получим комплексно сопряженное решение
U вы х . (15.20)
Воспользовавшись принципами суперпозиции и гомогенности, а также формулой Эйлера, получим:
U вх (t)= (15.21)
где Uвых = A (ω)Uвх; φ= - arctg
Как следует из выражений (15.7) и (15.15), частотная передаточная функция может быть получена без проведенных выкладок формальной заменой на jω или, если имеется передаточная функция, то формальной заменой р на jω.
Рассмотрев нахождение реакции звена (системы) на гармонический входной сигнал, определим выражение для отыскания реакции Хвых(t) на произвольный входной сигнал Хвх(t)
В соответствии с уравнением (32) имеем
, (15.22)
отсюда, зная W(jω), можно записать:
. (15.23)
Следует отметить, что методы исследования АСР по их частотным характеристикам нашли в настоящее время широкое распространение. Они используются как для синтеза АСР, так и для приближенного построения переходных процессов в линейных системах. Частотные методы получили развитие при исследовании нелинейных и импульсных систем, а также для АСР с цифровым и вычислительными комплексами.
|
|
Существенное значение имеет и то обстоятельство, что частотные характеристики могут быть получены экспериментально. Это позволяет уточнять аналитические модели и пользоваться экспериментальными зависимостями в том случае, когда нахождение модели аналитически сопряжено с большими трудностями.
Вопросы для самоконтроля
1. В чем заключается метод Фурье и какие задачи в теории автоматического регулирования решаются с помощью данного метода?
2. Каковы преимущества и недостатки частотных методов исследования?
3. В чем заключается экспериментальный и аналитический методы получения частотных характеристик?
4. Находит ли применение принцип суперпозиции при использовании частотных методов?
5. Какие частотные характеристики известны и о чем они позволяют судить?