Теорема 6. Если все элементы сходящейся последовательности , , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству (), то и предел этой последовательности удовлетворяет неравенству ().
► Доказываем методом от противного. Предположим, что выполняется неравенство .
По определению предела
.
Положим . Тогда . После несложных преобразований получим . Из правой части этого неравенства имеем . Это противоречит условию, что . Значит, справедливо неравенство .
Аналогично доказывается случай . ◄
Теорема 7 (о промежуточной переменной). Пусть последовательности , , таковы, что:
1) выполняется неравенство ,
2) , .
Тогда последовательность сходится и .
► По определению предела имеем
.
Из последнего неравенства .
Аналогично
.
Отсюда .
Возьмем . Тогда для всех выполняются неравенства одновременно
.
Отсюда или . Это означает, что . ◄