Рассмотрим класс квантовых систем, с независящим от времени гамильтонианом. Для таких систем решение уравнения (2.7) можно искать с помощью метода разделения переменных. Положим
Подстановка такой функции в уравнение (2.8), дает
Разделяя переменные, имеем
Отсюда временная составляющая волновой функции, равна
(2.9)
а волновая функция , зависящая только от пространственных переменных, удовлетворяет уравнению
(2.10)
Из вида (2.10) следует, что это уравнение представляет собой уравнение для определения собственных значений и собственных функций оператора энергии Таким образом, допустимое множество значений параметра образует спектр энергии квантовой системы.
Частное решение уравнения Шредингера с независящим от времени гамильтонианом, имеет вид
(2.11)
где подчиняется уравнению (2.10). Уравнение (2.10) называется стационарным уравнением Шредингера, а состояния квантовой системы, описываемые волновыми функциями вида (2.11) – стационарными состояниями. Последнее название связано с тем, что плотность вероятности
|
|
не зависит от времени .
Среднее значение физической величины в стационарном состоянии с волновой функцией также не зависит от времени
Общее решение рассматриваемой задачи будет представлять собой суперпозицию частных решение вида (2.11). Если спектр энергии имеет и дискретную и непрерывную составляющие, т.е.
то общее решение уравнения Шредингера принимает вид
(2.12)
где - коэффициенты. Для задачи Коши с начальным условием коэффициенты равны
(2.13)
Следует отметить, что для задачи с вырождением в представлении (2.12) для волновой функции под квантовыми числами и , по которым проводится суммирование и интегрирование, следует понимать наборы квантовых чисел, включая энергию, полностью определяющих квантовые состояния системы.
В качестве примера определим стационарные состояния для одномерного движения (вдоль оси ) свободной квантовой частицы. Гамильтониан системы
(2.14)
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид
(2.15)
Так как гамильтониан коммутирует с оператором импульса, то операторы и имеют общую систему собственных функций. Нетрудно проверить, что собственные функции оператора импульса
(2.16)
удовлетворяют уравнению (2.15), т.е. является собственной функций оператора . Таким образом, в соответствие с (2.11), волновые функции стационарных состояний для свободной частицы имеют вид
,
т.е. представляют собой волны де Бройля (см. (2.2)).. Общее решение уравнения Шредингера (2.7) есть суперпозиция волн де Бройля:
(2.17)
Следовательно, волновая функция свободной частицы есть волновой пакет.
|
|