Необходимое условие устойчивости

Отыскание корней характеристического уравнения для суждения об устойчивости системы аналитически, т.е. по формуле, как это делается для уравнения второго порядка, задача, не имеющая аналитического решения при порядке уравнения больше трех.

Находить корни для уравнений более высоких порядков можно с использованием численных методов. Однако в этом случае будем иметь всякий раз единственное решение, соответствующее конкретным численным значениям коэффициентов характеристического уравнения.

Отсутствие аналитического решения – это отсутствие общего взгляда на возможные варианты решения уравнения системы, позволяющего выбирать или, по крайней мере, не рассматривать не удовлетворительные варианты.

Возможность получать корни для показателей степени характеристического уравнения численными методами дает возможность воспользоваться лишь экспериментальным методом «проб и ошибок», т.е. перебором вариантов коэффициентов характеристического уравнения, связанных с параметрами элементов системы, подлежащими выбору в процессе проектирования. Известно, что метод «проб и ошибок», называемый иногда не случайно «методом тыка» неэффективен и не гарантирует отыскания желаемого решения.

Отсюда возникло естественное желание найти косвенный метод суждения об устойчивости систем без отыскания корней характеристического уравнения системы.

Рассмотрим, как связаны между собой корни характеристического уравнения и его коэффициенты.

Для системы второго порядка имеем:

. (21.9)

Воспользуемся теоремой Виета. Тогда уравнение (12.9) можно представить в виде:

, (21.10)

где - в общем случае комплексные корни. Раскрыв скобки в выражении (12.10), получим:

(21.11)

При a < 0, как следует из (21.11), коэффициенты уравнения будут одного знака. Обнаруженный признак может служить для суждения об устойчивости систем второго порядка и внушает надежду.

Оценим, достаточно ли для устойчивости системы третьего порядка условия одинаковости знаков коэффициентов ее характеристического уравнения. Вновь воспользуется теоремой Виета. Получим:

(21.12)

Здесь

При γ< 0 и a< 0 коэффициенты будут одного знака.

Возьмем a> 0 и γ< 0. Тогда, если 2a< γ и , то все коэффициенты будут положительны, но условие устойчивости не соблюдается.

Таким образом, одинаковость знаков коэффициентов характеристического уравнения является лишь необходимым, но не достаточным условием устойчивости систем, имеющих характеристические уравнения, порядок которых выше второго. Надежда не оправдалась: простое решение не найдено.