Рассмотрим показатель точности – величину ошибки системы в установившемся режиме.
Данный режим наступает в системе после окончания переходного процесса, вызванного изменением задающего .
Если для системы стабилизации и для расчетов обычно используется , то для программных и следящих систем
– изменяющаяся во времени величина и в качестве типовых используется или , где V и a – соответственно максимальные значения скорости и ускорения , имеющие место в реальном процессе. То же относится и к возмущающему воздействию .
Графики переходных процессов систем при отработке различных задающих воздействий показаны в табл. 22.1.
Решим вопрос: одинаково ли легко добиться определенного значения ошибки для различных ? По-видимому, легче добиться определенной величины в случае , т.е. когда задающее воздействие с течением времени остается постоянным, чем в случае изменяющегося задания. Иначе говоря, чем сложнее , тем система должна быть совершеннее по своим динамическим свойствам. На практике это значит, что система будет сложнее в техническом отношении, т.е. сложнее будет, например, регулятор и, следовательно, закон регулирования, реализованный в такой системе.
|
|
Как динамическая структура систем влияет на точность их работы?
Рассмотрим общий случай системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии равной
. (22.4)
Для простоты положим, что передаточная функция в цепи обратной связи 1.
Это означает, что передаточная функция датчика перенесена в прямой канал разомкнутой системы и за выходную величину системы в этом случае принимается сигнал с датчика. Таким образом, исследованию подлежит не ошибка регулирования, а сигнал рассогласования. Поскольку в большинстве случает датчик – менее инерционное звено, чем объект управления, и обычно рассматривается как безинерционное звено, ошибка регулирования конкретной системы, соответствующая рассогласованию легко определяется через коэффициент передачи датчика
В дальнейших рассуждениях, с точки зрения смысла исследования, будем говорить не о рассогласовании, а об ошибке регулирования.
Исследуя ошибку системы в установившемся режиме, в качестве модели системы возьмем ее передаточную функцию по ошибке
(22.5)
и, воспользовавшись предельной теоремой Лапласа, запишем
,. (22.6)
где xуст – величина ошибки системы в установившемся режиме.
Рассмотрим точность работы систем при различных типовых задающих воздействиях: ; ; , имеющих соответственно следующие выражения в изображении по Лапласу:
; ; .
Решим задачу для различных значений показателя степени p в знаменателепередаточной функции системыn = 0, 1, 2, где n носит название «порядок астатизма».
|
|
Для n = 0 постоянного задающего воздействия будем иметь:
(22.7)
для и .
Для n = 1 запишем:
, (22.8)
для и для .
Коэффициент K в случае n = 1 называют добротностью по скорости и обозначают .
Для n = 2 запишем
(22.9)
для и для .
Коэффициент в случае n = 2 называют добротностью по ускорению и обозначают .
Сделаем выводы из полученных результатов.
Система, имеющая n = 2, способна решать задачи изменения регулируемой величины в соответствии с задающим воздействием с большей точностью, чем система с n = 1 и тем более с n = 0. Ошибка для зависит от величины ускорения a и коэффициента добротности по ускорению . Чем больше , тем меньше .
Система с n = 1 не справится с задачей поддержания соответствия между регулируемой величиной и . Ее ошибка будет неограниченно возрастать. При более простом виде ошибка будет обратно пропорциональна добротности по скорости и прямо пропорциональна величине скорости V изменения .
Системы с n = 2 и n = 1 будут иметь = 0 при g(t)= 1(t), а система с =2 вместе с тем будет иметь x =0 и при g(t)=Vt.
Система с =0 способна решать лишь задачи стабилизации регулируемой величины. Ее ошибка x, как и в предыдущих случаях зависит от величины задающего воздействия и может быть изменена за счет увеличения коэффициента передачи К.
Все сказанное изображено в табл. 22.1.
Статическая система ( |
Астатическая система |
Введем следующее определение. Система называется статической по отношению к постоянному задающему воздействию, если ее ошибка X в установившемся режиме зависит от величины этого воздействия и астатической, если X =0. Из данного определения и проведенного анализа вытекает, что порядок астатизма определяет, быть системе статической или астатической. При =0 система является статической
(иногда говорят астатической нулевого порядка), при =1 и =2- астатической, соответственно первого и второго порядка астатизма.
Заметим, что выражение 1/p соответствует передаточной функции интегрирующего звена. Отсюда можно сделать следующий вывод, касающийся динамической структуры ACP: порядок астатизма системы относительно задающего воздействия определяется числом ее интегрирующих звеньев. Чем на практике может помочь данный вывод? Уже на начальной стадии проектирования ACP можно поставить требования к ее динамической структуре: если это программа или следящая система, то наличие в ней по крайней мере одного интегрирующего звена обязательно, если этот система стабилизации, то возможно более простое техническое решение, без интегрирующих звеньев.
Вопрос о порядке астатизма ACP связан, как уже отмечалось, не только с динамической структурой системы, но и с характером действующих на нее сигналов. Вспомним, что при введении понятия "асимптотическая устойчивость систем" характер и величины действующих на систему сигналов не принимались во внимание и устойчивость ACP связывалась лишь с ее собственными свойствами, параметрами системы. Из выражений (22.7) - (22.9) для X при различных g(t) следует, что система, будучи устойчивой по определению, может на практике иметь неограниченно возрастающую ошибку X при изменяющемся задающем воздействии. Сказанное подчеркивает важность введения понятия астатизма системы при решении задач проектирования. Так, расчет ACP необходимо начинать, в первую очередь, с рассмотрения вопроса удовлетворения требований к точности ее работы, а затем уже решать вопросы, связанные с быстродействием и запасом устойчивости.
Далее, если системы с астатизмом большего порядка обладают и большей точностью, почему бы это не учесть заранее введением дополнительных интегрирующих звеньев? Точность работы систем возможно удастся повысить, т.е. удастся уменьшить ошибку X . Однако быстродействие и запас устойчивости системы при этом ухудшатся и система может стать даже неустойчивой. Объясняется это тем, что каждое интегрирующее звено вносит в систему отрицательный фазовый сдвиг - /2 и вместе с тем спектр частот, пропускаемых звеном, ограничен. Введение интегрирующего звена в систему позволяет уменьшить X , но требуются, если нужно, дополнительные меры по сохранению или улучшению запаса устойчивости и быстродействия.
|
|
Отсюда следует, что получение более точной системы связано с ее усложнением и дополнительными затратами.
Как видно из приведенных рассуждений, при решении задач обеспечения требуемой точности ACP с одновременным обеспечением требуемого быстродействия и запаса устойчивости возникают противоречия, которые приходится разрешать в процессе проектирования систем.
Для определения ошибки X от возмущающего воздействия следует также воспользоваться предельной теоремой Лапласа:
. (22.10)
. (22.11)
Система будет иметь -й порядок астатизма по возмущающему воздействию, если ее передаточная функция Ф (р) будет иметь в числителе pν, т.е. нуль кратности .
Так, если предположить, что
. (22.12)
. (22.13)
где , ,
то . (22.14)
Отсюда, если W (р) имеет сомножителем 1/р ,то для того, чтобы замкнутая система обладала астатизмом - того порядка относительно возмущающего воздействия, необходимо, чтобы W(р) содержала множитель 1/р .
В целом ошибка в установившемся режиме X() в силу принципа суперпозиции равна сумме ошибок от задающего X и возмущающего X воздействий:
(22.15)
В то время как указанные составляющие ошибки можно изменять в процессе проектирования ACP, существует ошибка чувствительного элемента Xчэ, которую устранить невозможно. но которую следует учитывать при оценке точности работы систем:
(22.16)
Порядок астатизма по задающему и возмущающему воздействиям в общем случае может быть неодинаков. Отсюда следует заключить, что при проектировании системы, для повышения точности ее работы, необходимо учитывать, какой из режимов работы является для нее наиболее характерным.
|
|
Заметим, что формулы для определения ошибки X могут быть использованы не только при решении задач анализа точности системы, но и при отыскании коэффициента передачи системы, при котором данная ошибка будет меньше или равна своему требуемому значению X , задаваемому при проектировании.
Для статических систем, астатических 1-го и 2-го порядка по задающему воздействию можно соответственно записать условия, при которых
k .
Аналогичные неравенства можно получить и для возмущающего воздействия.