Интегральные показатели качества

Особую группу показателей составляют интегральные критерии качества, получаемые на основе переходных процессов систем.

Данные показатели, являясь интегралами от различных выражений для ошибки регулирования, позволяют решать аналитически задачи нахождения оптимальных параметров систем.

Для систем с переходными процессами без перерегулирования используется интегральная оценка

J₀ = (22.85)

В выражении (22.6.1) Т принимается равной бесконечности или равной времени переходного процесса системы.

Интеграл равен площади под кривой переходного процесса по ошибке от задающего воздействия (рис. 22.21,а).

Чем меньше интеграл, тем время переходного процесса меньше, т.е. тем большим быстродействием обладает система.

Использование данной оценки для колебательных процессов не дает верного представления о качестве работы систем, так как суммируются положительные и отрицательные площади.

x(t) x(t)

t t

0 0

а б

Рис. 22.21. Переходные процессы системы по ошибке при монотонном (а) и колебательном (б) переходных процессах

В этом случае используют квадратичную интегральную оценку

J₁ = x² (t) dt (22.86)

либо интеграл от абсолютного значения ошибки

J₂ = dt (22.86)

X²(t) J₁

0 t₁ t₂ t 0 t₁ t₂ t

Рис. 22.22. Графики изменения x²(t) и J₁

На рис. 22.22 показаны графики изменения x²(t) и J₁. Подобный вид будут иметь графики для и J₂.

Использование J₁ позволяет производить аналитические расчеты, что невозможно при J₂. Однако в случае использования для исследования вычислительных машин определение J₂ не составляет труда.

Важно отметить, что поскольку ошибка является функцией действующих на систему сигналов и ее параметров (собственных свойств), то любая интегральная оценка

J = F [x(t), g(t), f(t), y(t), t] dt (22.87)

где F – функция ошибки, задающего и возмущающего воздействий, регулируемой величины и времени.

Из двух систем, оцениваемых с помощью одного интегрального критерия J, лучше та, которая имеет меньшую величину J. При синтезе систем стремятся так выбрать параметры системы, чтобы величина J была минимальна. Решению задачи минимизация интегрального критерия J за счет выбора параметров системы посвящена теория оптимальных систем, находящая широкое применение при синтезе современных систем управления.

Кроме перечисленных, находят применение и другие интегральные оценки. Так для того, чтобы уменьшить вклад в величину J ошибки на начальной стадии переходного процесса используют критерий

J₃ = t dt (22.88)

или критерий

J₄ = t x² (t) dt. (22.89)

Рассмотрим примеры использования интегральных критериев при решении задач анализа и синтеза АСР.

Пусть дана система, сигнальный граф которой показан на рис. 22.6.3

Рис.22.23. Сигнальный граф системы

Передаточная функция системы

Ф(р) = , (22.90)

а ее собственная частота w_{n = 1.}

На рис. 22.24 показаны графики для интегральных критериев J₁ , J₃ и J₄ в зависимости от значений z.

Наибольшей чувствительностью к параметру затухания z обладает интегральный критерий J₃. Величина z, выбранная на основе критерия J₃ равна 0,7, чему соответствует перерегулирование s = 5%

Рис. 22.24. Значения J₁, J₂, J₃ для систем 2-го порядка.

Сигнальный граф другой системы показан на рис. 22.6.5.

Рис. 22.25. Сигнальный граф системы.

Необходимо выбрать величину К₃, чтобы минимизировать влияние возмущения f(р) на у(р). Определим передаточную функцию системы по возмущению. Она будет равна: в соответствии с формулой Мэзона:

= . (22.91)

Пусть для определенности К₁ = 0,5 и К₁ К₂ К_р = 2,5. Тогда собственная частота объекта w_n = / 2p = 0,25гц. Выберем для оценки качества системы интегральный критерий J₁. Для единичного ступенчатого возмущающего воздействия g (t) = 1(t) минимальное значение J₁ может быть найдено аналитически.

Для определения J₁ = J_1min запишем выражение для у(t):

, (22.92)

где

Возведя y(t ) в квадрат и интегрируя, получим

= (22.93)

Дифференцируя J₁ по К₃ и приравнивая производную нулю получим:

(22.94)

Отсюда J₁=J_min при K₃= @ 3.2. Эта величина К₃ соответствует z = 0,5.

Важно отметить, что использование критерия J₁ позволяет решить рассмотренную задачу оптимизации аналитически, в то же время как при использовании критериев J₂ и J₃ можно использовать лишь численные методы оптимизации.

Подводя итог сказанному, следует подчеркнуть, что интегральные критерии характеризуют качество работы системы в целом, так как находятся не по отдельным показателям, а по всему переходному процессу. Это определяет собой второй смысл термина «интегральный».

Недостатками интегральных оценок являются невозможность получения прямых показателей качества и высокая сложность вычислительных процедур. Достоинство – это возможность выразить интегральные оценки как функции параметров системы и, воспользовавшись известными методами поиска экстремума, определить значения этих параметров, дающие минимум избранной оценке. Именно это и послужило развитию аналитических методов синтеза систем автоматического управления, основанных на минимизации квадратичных интегральных оценок.

В заключении приведем сводную таблицу качеств систем и их показателей, рассмотренных в данных методических указаниях.

Таблица 22.1

Качества системы	Методы исследования
временной	частотный	корневой
Точность	Хуст - ошибка в установив-шемся режиме	Хmax - амплитуда ошибки в установившемся режиме гармони- ческих колебаний
Быстродействие	tпп - время переходного процесса, tr - время разгона tm - время первого максимума	wр - частота резонанса wс - частота среза wп - частота пропускания	h - степень устойчивости
Запас устойчивости	- перерегули- рование y - затухание N - число колебаний	j3 - запас по фазе L1 и L2 - запас по модулю M - показатель колебательности	m - колебательность