Сравнение двух альтернатив

Утверждение 2. Упорядоченность оценок на парной ЕПШ либо определяется посредством попарных сравнений, осуществляемых ЛПР, либо получается в результате транзитивного распространения, следующего из порядковых шкал критериев.

Действительно, в тех случаях, когда оценки не были сравнены непосредственно ЛПР, их положение на ЕПШ определяется:

¨ либо упорядочением оценок на шкалах критериев, если они принадлежат одной шкале;

¨ либо транзитивным распространением результатов сравнения ЛПР на основе упорядоченных оценок на шкалах критериев.

Обратимся к примеру: ЕПШ для критериев А и Б. Оценки А₂ и Б₂ сравнивались ЛПР. Превосходство оценки А₃ над оценкой Б₃ следует из превосходства Б₂ над Б₃ (порядковая шкала).

Утверждение 3. Упорядоченность оценок на общей ЕПШ следует либо из прямых сравнений ЛПР, либо из свойства упорядочения оценок на шкалах критериев.

Доказательство очевидно.

Введем функцию качества альтернативы V(y_i) и сделаем следующие предположения относительно свойств этой функции:

¨ существуют максимальное и минимальное значения V(y_i);

¨ при независимых критериях значение V(y_i) возрастает с улучшением оценок по каждому из критериев.

Присвоим каждой оценке на единой ЕПШ ранг, начиная с лучших оценок. Так, для ЕПШ в приведенном выше примере сочетанию лучших оценок соответствует ранг 1, оценке Б2 — ранг 2, оценке аз — ранг 3 и т.д.

Рассмотрим две альтернативы: a и b, представленные в виде векторов оценок по критериям. Можно определить ранги для всех компонентов векторов аир.

Упорядочим ранги компонентов (оценок по критериям) альтернатив от лучших к худшим. Тогда каждой альтернативе можно поставить в соответствие вектор рангов оценок на ЕПШ, причем качество альтернативы определяется этим вектором:

V(a) Û V(R) = V(r_i, r_j, r_k,...,r₁),

V(b) Û V(Q) = (q_s, q_t, q_u,..., q_f), (7)

где r_i, r_j, r_k,...,r₁ — ранги оценок альтернативы aна ЕПШ; q_s, q_t, q_u,..., q_f — ранги оценок альтернативы b на ЕПШ.

Приведем без доказательства (см. доказательство в [3]) следующее утверждение.

Утверждение 4. Если условие независимости по понижению качества выполнено для всех пар критериев и ранги оценок альтернативы a, следующие из ЕПШ, не хуже, чем ранги оценок для b, а ранг хотя бы одной оценки лучше, то альтернатива a в соответствии с предпочтениями ЛПР превосходит альтернативуb: V(a) > V(b).

Не требуют доказательства следующие утверждения.

Утверждение 5. Альтернатива a эквивалентна альтернативе b, если их оценки в соответствии с ЕПШ имеют одинаковые ранги.

Утверждение 6. Во всех случаях, когда не выполняются условия превосходства одной альтернативы над другой или их эквивалентности, альтернативы a и b несравнимы.

Следовательно, попарное сравнение упорядоченных по ЕПШ оценок дает возможность непосредственно по информации ЛПР сделать вывод о превосходстве одной альтернативы над другой либо об их эквивалентности. Если информации ЛПР недостаточно, то альтернативы несравнимы.