Пример 1: Исследовать функцию на глобальный экстремум при .
Решение:
Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок. , .
Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок. Для этого находим производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.
.
, если , отсюда
Определяем все критические точки, попадающие в отрезок. Для этого найдем те точки, в которых производная не существует.
или .
Вычисляем значение функции в отобранных точках, а также на концах отрезка.
Из полученных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее значения.
и .
Ответ: и .
Пример 2: Найти наибольшее и наименьшее значение функции на интервалах
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) .
Решение:
Находим область определения функции и проверяем, содержится ли в ней весь интервал.
Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:
.
Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.
Определяем все стационарные точки, попадающие в интервал. Для этого находим производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.
Производная обращается в ноль при . Эта стационарная точка попадает в интервалы и .
Определяем все критические точки, попадающие в интервал. Для этого найдем те точки, в которых производная не существует.
Критических точек нет.
Вычисляем значение функции в отобранных точках, а также на концах отрезка в зависимости от вида промежутка.
а) Для первого промежутка вычисляем значение функции при и предел на минус бесконечности:
Так как , то , а о наименьшем значении функции выводов сделать нельзя. Можно лишь утверждать, что значения функции ограничены снизу значением -1 (на минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к бесконечности значения функции асимптотически приближаются к прямой ).
б) Второй интервал интересен тем, что не содержит ни одной стационарной точки и ни одна из его границ не является строгой. В этом случае мы не сможем найти ни наибольшего, ни наименьшего значения функции. Вычислив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к –3 слева, мы лишь сможем определить интервал значений функции:
Следовательно, значения функции находятся в интервале при x из промежутка .
в) Для третьего промежутка вычислим значении функции в стационарной точке и при , а также односторонний предел, при стремлении аргумента к -3 справа:
.
Следовательно, наибольшее значение на этом интервале функция принимает в стационарной точке , наименьшее значение функции мы вычислить не можем, но значения функции ограничены снизу величиной -4.
г) Для интервала воспользуемся результатами из предыдущего пункта и еще вычислим односторонний предел при стремлении к 2 слева:
.
Поэтому , наименьшее значение определить нет возможности, значения функции ограничены снизу величиной -4.
д) Результаты предыдущих двух пунктов позволяют утверждать, что на интервале наибольшее значение функция принимает при , наименьшее значение найти нельзя, значения функции ограничены снизу величиной -4.
е) На промежутке функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
.
То есть, на этом интервале функция принимает значения из промежутка .
ж) Вычислив значение функции при , можно утверждать, что и на плюс бесконечности функция асимптотически приближается к прямой .