Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
Решение. Построим чертёж
На отрезке график функции расположен над осью .
Ответ: 9 кв.ед.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.
Решение. Выполним чертеж:
Криволинейная трапеция полностью расположена под осью , её площадь можно найти по формуле: .
Ответ.
Пример 3. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .
Решение. Выполним чертеж. Найдем точки пересечения параболы и прямой аналитически из уравнения:
Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
площадь соответствующей фигуры найдём по формуле:
Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
Ответ: S=4,5 кв.ед.
Пример 4. Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси .
Решение. Выполним чертёж.
Вычислим объем тела вращения, используя формулу:
Ответ:
Пример 5. Дана плоская фигура, ограниченная линиями .
1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .
|
|
Решение. Выполним чертёж:
Площадь фигуры находится как сумма площадей:
– на отрезке ;
– на отрезке .
Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .
На отрезке , поэтому:
Вычислим объем тела, образованного вращением фигуры, вокруг оси . Объем полученного тела вращения равен разности объемов .
Ответ.