Пусть функция f (x) определена на отрезке [ a, b ]. Предположим, что определенный интеграл
(4.3.1)
существует, и поставим задачу его приближенного вычисления.
Будем считать, что на отрезке [ a, b ] в узлах равномерной одномерной сетки
hx = { xi / xi = xi –1 + h, h > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x 0 = a, xn = b }
заданы yi = f (xi), i = 0, 1, 2, …, n – значения дифференцируемой на этом отрезке функции f (x). Требование равномерности сетки не является принципиальным, но позволит упростить ряд последующих записей.
Для приближенного вычисления определенного интеграла I заменим его суммой
(4.3.2)
Формулы вида (4.3.2) называют квадратурными. Квадратурные формулы отличаются способом задания коэффициентов квадратурной формулы ck и расположением узлов квадратурной формулы xk сетки hx на отрезке [ a, b ], k = 0, 1, 2, …, n. Значение R в (4.3.2) определяет погрешность квадратурной формулы и состоит из погрешности аппроксимации определенного интеграла квадратурной формулой и вычислительной погрешности. Последняя включает в себя и погрешность значений функции f (xk) в узлах.
|
|
Погрешность аппроксимации определенного интеграла квадратурной формулой зависит как от значений коэффициентов ck, так и от расположения узлов xk. Поскольку мы предположили равномерность сетки h x, то расположение узлов квадратурной формулы на отрезке [ a, b ] будет полностью определяться шагом h сетки. Все оценки погрешности аппроксимации, приведенные в данном параграфе, предполагают достаточную степень гладкости функции f(x) на отрезке [ a, b ].
Для рассматриваемых квадратурных формул используется следующий подход. Узлы сетки h x разбивают отрезок [ a, b ] на n частичных отрезков разбиения [ xk, xk + 1], k = 0, 1, 2, …, n – 1. Используя свойства определенного интеграла I, представляем его в виде суммы частичных определенных интегралов Ik по частичным отрезкам разбиения:
(4.3.3)
(4.3.4)
Каждый из частичных интегралов Ik, k = 0, 1, 2, …, n – 1 аппроксимируем квадратурной формулой вида (4.3.2):
(4.3.5)
Тогда искомая квадратурная формула для приближенного вычисления определенного интеграла I на всем отрезке [ a, b ] может быть представлена как сумма частичных квадратурных формул Jk:
(4.3.6)
Квадратурные формулы, построенные рассмотренным способом, называют составными. Очевидно, что погрешность аппроксимации d определенного интеграла квадратурной формулой составного типа будет определяться как сумма погрешностей аппроксимации d k на частичных отрезках разбиения [ xk, xk + 1], k = 0, 1, 2, …, n – 1:
(4.3.8)
Теперь перейдем к рассмотрению конкретных квадратурных формул, которые можно назвать простейшими.