Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Если функция плотности вероятности непрерывной случайной величины Х, принимающей значения в интервале от (-∞;+∞), определяется по формуле:

, (1.31)

то говорят, что случайная величина распределена по нормальномузакону распределения или закону Гаусса.

Параметрами нормального распределения (1.31) случайной величины Х являются математическое ожидание а и среднеквадратическое отклонение .

Нормальный закон распределения широко используется для описания случайной вариации многих реальных показателей в экономике, статистике, коммерции и т.д. Теоретическое обоснование применимости нормального распределения было дано в 1901 году А.М. Ляпуновым. Он показал, что если случайная величина Х является суммой большого числа независимых случайных величин, то её закон распределения будет близок к нормальному закону распределения. Это утверждение называется центральной предельной теоремой теории вероятностей.

Кривая нормального распределения (рис.3) симметрична относительно прямой, параллельной оси ординат и проходящей через точку х=а и имеет в этой точке единственный максимум, равный . С уменьшением σ кривая становится более вытянутой по отношению к прямой х=а. Изменение а при постоянном σ не меняет формы кривой, а вызывает лишь ее смещение вдоль оси 0х. Площадь, заключенная под кривой нормального распределения, равна единице.

Рис.3. Функция плотности вероятности нормального закона распределения

Вероятность того, что случайная величина попадет в интервал от х₁ до х₂:

(1.31)

Значения функции Лапласа приведены в приложении 2.

Пример 1.12. Вес вылавливаемых в реке рыб есть случайная величина, имеющая нормальное распределение со средним значением а = 375 г и стандартным отклонением σ = 25 г. Найти вероятность того, что вес одной выловленной рыбы будет находиться в пределах от 300 грамм до 425 грамм.